Gerono’sche Lemniskate mit zwei Parametern

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Feb. 2018,  
www.kurven-erkunden-und-verstehen.de  
Anlass: Logo der Berliner Mathematischen Gesellschaft

Originale Gerono’sche Lemniskate

{a=.,b=.};

para1= 2a y==(a^2)-(x^2);
para2=2a y==(x^2) -(a^2);

Konstruktion als Mittenkurve,  siehe  Buch Seite 117 Kap 4.4.2.1, Herleitung dort, aber auch hier mir der Verallemeinerung: das linke a wird b.

Im Vergleich zum Logo der BMG ist dies zu flach.

Anpassung der originalen Gerono’schen Lemniskate

{a=.,b=.};

para1= 2b y==(a^2)-(x^2);
para2=2b y==(x^2) -(a^2);

Konstruktion als Mittenkurve,  Herleitung mit der Verallemeinerung: das linke a wird b.

Q=(u,v) auf Grün; S=(s,t) auf Blau, y=v=t , x=((u+s)/2)

Eliminate[{2b y==-(u^2)+(a^2) , 2b y==(s^2)-(a^2),x==((u+s)/2)},{u,s}]

Ich habe a=3 gewählt, mit b=2 passte das Bild.

Gerono= (x^4)==(a^2) (x^2)-(b^2)(y^2)

Dass Logo der BMG hat also mit b=(2/3)a     die Gleichung

9(x^4)=(a^2)(9 (x^2)-4 (y^2))

Nullstellen und Extremwerte

Die hohe Symmetrie ist aus der Konstruktion ersichtlich.
Die Nullstellen  sind +-a. Die Extremwerte sind die Ordinaten  der Scheitel der erzeugenden Parabeln, also +- ((a^2)/(2b)).
Die Extremstellen können aus der Gerono-Gleichung bestimmt werden:

Solve[(Gerono/.y->((a^2)/(2b)))//Evaluate,x]

Die Extremstellen sind unabhängig von b, die Ortskurve der Extremstellen ist also ein zur y-Achse paralleles Geradenpaar im Abstand a(Sqrt[2]).

Dies ist die Diagonale eines Quadrates mit Kantenlänge a.

Gerono’sche Lemniskate als Versiera
Spez. BMG-Lemniskate

gruen=((((x-(a/2)))^2)/((a^2)/4))+((y^2)/((a^4)/(4(b^2))))==1;
blau=((x^2)/(a^2))+((y^2)/(k^2))==1;

Ist Q im Extrempunkt der grünen Ellipse, dann gilt Q=((a/2),((a^2)/(2b))).
Es hat der Lemniskatenpunkt P die  die Abszisse (a/(Sqrt[2])) wie oben gezeigt.

a=.;b=.

Die Gerade durch Q hat die Gleichung

y==(((a^2)/(2b))/(a/2))x

Die Ordinate von E ist damit

y==((a x)/b)/.x->(a/(Sqrt[2]))

Damit kann die zweite Halbachse der blauen Ellipse bestimmt werden:

blau/.{x->(a/(Sqrt[2])),y->((a^2)/((Sqrt[2]) b))}

Solve[((a^4)/(2 (b^2) (k^2)))==(1/2),{k}]

Damit ist (k^2)=((a^4)/(b^2))

blauok=((x^2)/(a^2))+(((b^2)(y^2))/(a^4))==1

a=3;b=2;ContourPlot[{gruen, blauok, Gerono,9(x^4)==(a^2)(9 (x^2)-4 (y^2))}//Evaluate,{x,-3,3},{y,-5,5}, AspectRatio->Automatic,Axes->True]
a=.;b=.;

Beweis, dass diese Konstruktion
wirklich die Gerono-Lemniskate ergibt

Angelehnt an Satz 4. Seite 88 im Buch

eins=grün/.x->u

zwei=blau/.{y->t,k->((a^2)/b)}

ger=x y == u t

Eliminate[{eins,zwei,ger}//Evaluate,{u,t}]

Nach Division durch y ist dies die Gerono-Gleichung

-(a^2) (x^2) +(x^4) ==-(b^2) (y^2)

Fläche unter der Gerono’schen-Lemniskate

(x^2)((a^2)-(x^2))=(b^2)(y^2)

f[x_]:=(x/b)(Sqrt[((a^2)-(x^2))])

Integrate[f[x],x]

Integrate[f[x],{x,0,a}]//PowerExpand

Die Gerono’sche Lemniskate hat den Flächeninhalt

le=((4(a^3))/(3 b));

Speziell hat die BMG-Lemniskate, bei der b=(2/3)a ist, 
den Inhalt  2 (a^2)

Das umbeschriebene Rechteck hat die Fläche

re=2a 2 ((a^2)/(2b))

(le/re)

DieGerono’sche Lemniskate nimmt für alle a und b im umbeschriebenen Rechteck genau (2/3) ein.

Das gilt damit auch für die BMG-Lemniskate.