Kurven aus Kreisläufen (Meyer’sche Kurven)

meyersche-kurven.nb     www.kurven-sehen-und-verstehen.de Bereich Kap. 8 Drehwurm
				Dörte Haftendorn

Anregung Jörg Meyer, AK Geo 2017 Saarbrücken

Bei Meyer haben die Kreise verschiedene Mittelpunkte auf der x-Achse, symmetrisch zu O in Entfernung a. Da aber P aus der Vektorsumme entsteht, ist die Ortskurve von P unabhängig von a. Das gilt für alle Beispiele von Jörg Meyer.

A auf Kreis 1, Radius (Subscript[r, 1]) Winkel (Subscript[t, 1]), B auf Kreis 2, Radius (Subscript[r, 2]) Winkel (Subscript[t, 2])

P={xa+xb,ya+yb}

xa=r1 Cos[t1]; ya=r1 Sin[t1];xb=r2 Cos[t2]; yb=r2 Sin[t2];P

In Folgenden werden gleiche und unterschiedliche Radien und verschiedene Verhältnisse von (Subscript[t, 1])und (Subscript[t, 2]) betrachtet.

Spezielle Pascalsche Schnecke bei  2(Subscript[t, 1])=(Subscript[t, 2])

Erst spezieller mit Schlaufe, die den Ursprung außerhalb des Doppelpunktes enthält

Pb=(P/.{r1->r,r2->r,t1->t,t2->2t})

x==P[[1]]
y==P[[2]]

Eliminate[{x==r Cos[t]+r Cos[2 t],y==r Sin[t]+r Sin[2 t]}//TrigExpand,t]//FullSimplify

r=2; ContourPlot[(r^2) (2 r x+3 ((x^2)+(y^2)))==((((x^2)+(y^2)))^2),{x,-3,5},{y,-4,4}, Axes->True, ContourStyle->Red]

{P,xa,ya,xb,yb}=.;

Übliche Gleichung der Pascalschen Schnecken, Doppelpunkt im Ursprung 
((x^2)+(y^2)-2a ((x))^2) == (k^2) ((x^2)+(y^2))

Die hergeleitete Gleichung und ihr Doppelpunkt

r=.;Solve[(r^2) (2 r x+3 ((x^2)+(y^2)))==((((x^2)+(y^2)))^2)/.y->0,x]

Verschiebung um r nach rechts

(r^2) (2 r x+3 ((x^2)+(y^2)))-((((x^2)+(y^2)))^2)/.x->x-r   //Expand

-((((x^2)+(y^2)-2a x))^2)+(k^2)((x^2)+(y^2))//Expand

Solve[{-4(a^2)+(k^2)==-3(r^2),a==r},r]

Allgemeinere Pascal’sche Schnecken

Geometrischer Beweis: Gerade BP trifft dem Baum (-r2,0) da β Außenwinkel der Dreiecks BaumOB ist und α=(1/2)β gilt. Strecke BP =Strecke OA=r1=k=konstant. 
Darum läuft B als Herr auf dem Wanderkreis mit Radius r2, auf dem auch der Baum ist. P ist der Hund an der Leine der Länge k=r1.

Rechnerischer Beweis

P

Pp=(P/.{t1->t,t2->2t})

Eliminate[{x==r1  Cos[t]+r2  Cos[2 t],y==r 1  Sin[t]+r2  Sin[2 t]}//TrigExpand,t]//FullSimplify

{r1,r2,r}=.;

Eliminate[{x==r1  c+r2  ((c^2)-(s^2)),y==r1  s+r2  2 s c, (c^2)+(s^2)==1},{c,s}]//FullSimplify

r1=2;r2=.;Manipulate[ ContourPlot[(((-(r2^2)+(x^2)+(y^2)))^2)==4((((r2+x))^2)+(y^2)),{x,-3,5},{y,-4,4}, Axes->True, ContourStyle->Red],
{{r2,1},0,4}]
r1=.

Übliche Gleichung der Pascalschen Schnecken, Doppelpunkt im Ursprung 
((x^2)+(y^2)-2a ((x))^2) == (k^2) ((x^2)+(y^2))

Die hergeleitete Gleichung und ihr Doppelpunkt (-r2,0)

Solve[(((-(r2^2)+(x^2)+(y^2)))^2)==(r1^2) ((((r2+x))^2)+(y^2))/.y->0,x]

((((x^2)+(y^2)-2a x))^2)==(k^2)((x^2)+(y^2)); (* original Pascal'sche Schnecke*)

Man sieht durch Vergleich, wie schon geometrisch bewiesen, a=r2 und k=r1.

Steinerkurve u.a. Hypotrochoiden

P

Ph=P/.{t1->t,t2->-2 t}

Hypotrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m-1)Cos[t]+ρ k Cos[(m-1)t];
yh==ρ (m-1)Sin[t]-ρ k Sin[(m-1)t];

Also r1=ρ (m-1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei der Steinerkurve m=3

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)-1), ρ k==r2, ((R/ρ)-1)==2},{R,ρ,k}]

Ellipsen u.a. Hypotrochoiden, Bild oben!

P

Pe=P/.{t1->t,t2->-t}

Hypotrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m-1)Cos[t]+ρ k Cos[(m-1)t];
yh==ρ (m-1)Sin[t]-ρ k Sin[(m-1)t];

Also r1=ρ (m-1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei derEllipse m=2

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)-1), ρ k==r2, ((R/ρ)-1)==1},{R,ρ,k}]

Sonderfall Strecke: k=1, also r2=r1

Astroide u.a. Hypotrochoiden

P

Pa=P/.{t1->t,t2->-3t}

Hypotrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m-1)Cos[t]+ρ k Cos[(m-1)t];
yh==ρ (m-1)Sin[t]-ρ k Sin[(m-1)t];

Also r1=ρ (m-1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei der Astroide  m=4

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)-1), ρ k==r2, ((R/ρ)-1)==3},{R,ρ,k}]

Pascalsche Schnecken als Epitrochoiden

P

Pp=P/.{t1->t,t2->2t}

Epitrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m+1)Cos[t]-ρ k Cos[(m+1)t];
yh==ρ (m+1)Sin[t]-ρ k Sin[(m+1)t];

Also r1=ρ (m+1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei der  Pascal’schen Schnecke m=1

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)+1), ρ k==r2, ((R/ρ)+1)==2},{R,ρ,k}]

Meyer’sche Kurve c)  als Epitrochoide

P

Pa=P/.{t1->t,t2->5t}

Epitrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m+1)Cos[t]-ρ k Cos[(m+1)t];
yh==ρ (m+1)Sin[t]-ρ k Sin[(m+1)t];

Also r1=ρ (m+1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei der   c-Kurve m=4

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)+1), ρ k==r2, ((R/ρ)+1)==5},{R,ρ,k}]

r1=2; r2=2;ParametricPlot[{r1 Cos[t]+r2 Cos[5 t],r1 Sin[t]+r2 Sin[5 t]},{t,0,2Pi}, PlotStyle->Red]
r1=.; r2=.;

Meyer’sche Kurve d)  als Epitrochoide

P

Pa=P/.{t1->t,t2->(3/5)t}

Epitrochoiden nach Formel 8.13 in meinem Buch S. 247

xh==ρ (m+1)Cos[t]-ρ k Cos[(m+1)t];
yh==ρ (m+1)Sin[t]-ρ k Sin[(m+1)t];

Also r1=ρ (m+1), ρ k=r2,    Es war m=(R/ρ), bei der   d-Kurve m=((-2)/5)

Solve[{r1==ρ  ((R/ρ)+1), ρ k==r2, ((R/ρ)+1)==(3/5)},{R,ρ,k}]

r1=2; r2=2;ParametricPlot[{r1 Cos[t]+r2 Cos[(3/5)t],r1 Sin[t]+r2 Sin[(3/5) t]},{t,0,10Pi}, PlotStyle->Red]
r1=.; r2=.;