Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Aufgabe 7.10 Die drei ??? (Fragezeichen)

B=(b,0); A=(a,0);

Berechnung

kr=(u-a)^2+v^2==a^2
ga=y==-v/(a-u)(x-a)
gb=y==-v/b (x-b)

Eliminate[{kr,ga,gb},{u,v}]

a (-2 a+2 b) x +(((a^2)/b)-b) (x^2) ==b (y^2)

2 a b(-a+b) x+((a^2)-b^2) (x^2)==b^2 (y^2)

2 a b (-a+b) x+((a^2)-(b^2)) (x^2)==(b^2) (y^2)

-2 a b/(a+b)x+x^2==b^2/(a^2-b^2) y^2

-((2 a b x)/(a+b))+(x^2)==(((b^2) (y^2))/((a^2)-(b^2)))

(x- a b/(a+b))^2-(((b^2) (y^2))/((a^2)-(b^2)))==a^2b^2/(a+b)^2

Das ist eine Hyperbel für (a^2)>(b^2) und eine Ellipse für (a^2)<(b^2),
verschoben auf (((a b)/(a+b)),0)

Scheitel:

Solve[(-((a b)/(a+b))+x)^2==(((a^2) (b^2))/(((a+b))^2)),x]

Für b=-a ergibt sich eine Parabel mit p=2a

2 a b (-a+b) x+((a^2)-(b^2)) (x^2)==(b^2) (y^2) /.b->-a

y^2==2 (2 a) x

Für b=0 ergibt sich die y-Achse doppelt, die beiden Hyperbeläste fallen zusammen.

2 a b (-a+b) x+((a^2)-(b^2)) (x^2)==(b^2) (y^2) /.b->0

test

(x-a b/(a+b))²-b² (a²-b²) y²==(ab/(a+b))²