Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Aufgabe 7.7 Orthoptische Kurven

Definition: C sei eine Kurve. Von allen Punkten der orthoptischen Kurve Co von C sieht man die Kurve C unter einem rechten Winkel.

D.h.: Für jeden Punkt P von Co  hat C zwei Tangenten, die sich in P senkrecht schneiden.
Als Konstruktionsaufgabe: Konstruiere zu einem Punkt A von C einen weiteren Punkt B auf C, so dass sich die Tangenten von A  und B an C senkrecht schneiden.

Bemerkenswert ist, dass stets in gleicher Weise die Eigenschaft der \textbf{konjugierten Durchmesser} ausgenutzt wird. Zu der gegebenen Tangente wird durch die Normale eine Sehne erzeugt, deren Mittelpunkt mit dem Zentrum $O$ verbunden wird. Diesen konjugierten Durchmesser schneidet den Kegelschnitt in dem gesuchten Punkt $B$.
Die Tangente in $B$ ist parallel zur Sehnenschar und daher orthogonal zur gegebenen Tangente in $A$. Der Schnittpunkt $P$ der beiden Tangenten ist der gesuchte Punkt der Ortskurve.

Die orthoptische Kurve einer Parabel ist ihre Leitgerade

\paragraph{Parabel} Bei der Parabel gibt es keinen eigentlichen Mittelpunkt. Der zweite Brennpunkt ist im Unendlichen, darum liegen die Mittelpunkte paralleler Sehnen auf einer  Parallelen zur Parabelachse.

a=(1/(2p))

F[x_,y_]:=y-a^2 x^2

F[u,v]

m1=2a u; m2=2a s;

t1=y==m1 (x-u) + a u^2
t2=y==m2(x-s) + a s^2
senk=m2==((-1)/m1)

Assuming[a>0,{Eliminate[{t1,t2,senk},{u,s}]}]//Factor//Simplify

Das sind die Leitgerade und noch  der Brennunkt (0,(p/2))

Die orthoptische Kurve einer Ellipse ist ein Kreis
durch die Ecken des umfassenden Rechtecks

Quit

Elli=((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))==1

Atang=((u x)/(a^2))+((v y)/(b^2))==1
  Btang=((s x)/(a^2))+((t y)/(b^2))==1

mA=-(((b^2)u)/((a^2)v)); mB=-(((b^2)s)/((a^2)t));
senk=mB mA==-1

senk=(b^4)s u ==-(a^4)t v

elliA=((u^2)/(a^2))+((v^2)/(b^2))==1

elliB=((s^2)/(a^2))+((t^2)/(b^2))==1

Assuming[{a>0,b>0},{Eliminate[{elliA,elliB,Atang,Btang,senk},{u,s,v,t}]}]//Factor//Simplify

Assuming[a>0&&b>0,{Reduce[elliA&&elliB&&Atang&&Btang&&senk,{u,s,v,t}]}]//Factor//Simplify

{((b+y==0||b==y)&&(a+x==0||a==x)&&u==0&&s==x&&v==y&&t==0&&a b≠0)||(y==0&&(a+(Sqrt[-(b^2)+(x^2)])==0||(Sqrt[-(b^2)+(x^2)])==a)&&x≠0&&u+((b^2)/x)==x&&s==u&&(v+(Sqrt[2 (b^2)+(u^2)-(x^2)])==0||(Sqrt[2 (b^2)+(u^2)-(x^2)])==v)&&t+v==0&&a b≠0)||(y==0&&(a+(Sqrt[(b^2)+(x^2)])==0||(Sqrt[(b^2)+(x^2)])==a)&&x≠0&&u==((b^2)/x)+x&&s==u&&(v+(Sqrt[2 (b^2)-(u^2)+(x^2)])==0||(Sqrt[2 (b^2)-(u^2)+(x^2)])==v)&&t==v&&a b≠0)||((a+(Sqrt[(b^2)+(((x-I y))^2)])==0||(Sqrt[(b^2)+(((x-I y))^2)])==a||a+(Sqrt[(b^2)+(((x+I y))^2)])==0||(Sqrt[(b^2)+(((x+I y))^2)])==a)&&(a^2)+(x^2)+(y^2)≠(b^2)&&u==((2 (a^2) x)/((a^2)-(b^2)+(x^2)+(y^2)))&&s==u&&y≠0&&v==(((a^2)+(b^2)-2 u x+(x^2)+(y^2))/(2 y))&&t==v&&a b ((a^2)+(b^2)-(x^2)-(y^2))≠0)||(x≠0&&(b+y==0||b==y)&&(a+(Sqrt[-(b^2)+(x^2)+(y^2)])==0||(Sqrt[-(b^2)+(x^2)+(y^2)])==a)&&u==((-(b^2)+2 (x^2)+(y^2))/(2 x))&&s==0&&u≠0&&v+((x y)/u)==y&&t==y&&b≠0)||(x==0&&(a+(Sqrt[(b^2)-(y^2)])==0||a==-I (Sqrt[(b^2)-(y^2)])||a==I (Sqrt[(b^2)-(y^2)])||(Sqrt[(b^2)-(y^2)])==a)&&y≠0&&(u==-((Sqrt[(a^2) (-(b^2)+(y^2))])/y)||u==((Sqrt[(a^2) (-(b^2)+(y^2))])/y))&&(b^2)≠(y^2)&&s==(((a^2) u)/((b^2)-(y^2)))&&a≠0&&v+(((u^2) y)/(a^2))==y&&t==v&&b≠0)||((a+(Sqrt[-(b^2)+(x^2)+(y^2)])==0||(Sqrt[-(b^2)+(x^2)+(y^2)])==a)&&(b^2) (x^2)+(x^2) (y^2)+(y^4)≠(b^2) (y^2)&&(u==-(((b^4) x-(b^2) x ((x^2)+(y^2))+(Sqrt[(y^2) (((-(b^2)+(x^2)+(y^2)))^2) ((b^4)-2 (b^2) (y^2)+(x^2) (y^2)+(y^4))]))/((b^2) ((x^2)-(y^2))+(y^2) ((x^2)+(y^2))))||u==((-(b^4) x+(b^2) x ((x^2)+(y^2))+(Sqrt[(y^2) (((-(b^2)+(x^2)+(y^2)))^2) ((b^4)-2 (b^2) (y^2)+(x^2) (y^2)+(y^4))]))/((b^2) ((x^2)-(y^2))+(y^2) ((x^2)+(y^2)))))&&(b^2)+2 u x≠2 (x^2)+(y^2)&&s==((-(b^2) (u-2 x)-2 x ((x^2)+(y^2))+u (2 (x^2)+(y^2)))/((b^2)+2 u x-2 (x^2)-(y^2)))&&s y≠0&&v==(((b^2) (s-u)+(s+u) (y^2))/(2 s y))&&u≠0&&t==y+((s (-v+y))/u)&&b x≠0)}

Das ist ( noch nicht!!!) ein Kreis um O mit dem Radius a^2+b^2
Ergänzung 21.3.17
x^2+y^2=a^2+b^2   müsste also dabei sein. Das ist an der hervorgehobenen Stelle der Fall.
Die Einschränkungen, die man GeoGebra-Bild sieht, sind x^2<=a^2 und y^2>=b^2,
diese finde ich hier aber nicht.

Die orthoptische Kurve einer Ellipse ist ein Kreis
durch die Ecken des umfassenden Rechtecks
KONKRET

Ellik=((x^2)/(3^2))+((y^2)/(2^2))==1

Atangk=((u x)/(3^2))+((v y)/(2^2))==1
  Btangk=((s x)/(3^2))+((t y)/(2^2))==1

mAk=(((2^2)u)/((3^2)v)); mBk=(((2^2)s)/((3^2)t));
senkk=mBk mAk==-1

senkk=(2^4)s u ==(3^4)t v

elliAk=((u^2)/(3^2))+((v^2)/(2^2))==1

elliBk=((s^2)/(3^2))+((t^2)/(2^2))==1

Eliminate[{elliAk,elliBk,Atangk,Btangk,senkk}//Evaluate,{u,s,v,t}]

hier ist a=3 und b=2 fest, daher ist Assuming unnötig

Reduce[elliAk&&elliBk&&Atangk&&Btangk&&senkk,{u,s,v,t}]//Factor//Simplify

(y==0&&((Sqrt[5])+x==0||x==(Sqrt[5]))&&5 u==9 x&&5 s==9 x&&(v==-((4 I)/(Sqrt[5]))||v==((4 I)/(Sqrt[5])))&&t+v==0)||(y==0&&((Sqrt[13])+x==0||x==(Sqrt[13]))&&13 u==9 x&&13 s==9 x&&(v==-(4/(Sqrt[13]))||v==(4/(Sqrt[13])))&&t==v)||((y==-(8/(Sqrt[13]))||y==(8/(Sqrt[13])))&&(x==-(5/(Sqrt[13]))||x==(5/(Sqrt[13])))&&5 u==9 x&&5 s==9 x&&2 v==y&&2 t==y)||(((Sqrt[13])+y==0||y==(Sqrt[13]))&&(x==0||x==-3 (Sqrt[2])||x==3 (Sqrt[2]))&&(273 u+(Sqrt[464373-7124 (x^2)])==52 x||52 x+(Sqrt[464373-7124 (x^2)])==273 u)&&63 s+7 u (-9+(x^2))==24 x&&v==-(4/117) (-9+u x) y&&2457 t==4 (189+21 u x-8 (x^2)) y)||(((Sqrt[13])+x+y==0||x+y==(Sqrt[13])||(Sqrt[13])+x==y||(Sqrt[13])+y==x)&&(x^3)≠x (5+(y^2))&&26 u==((9 (13+(x^2)-(y^2)))/x)&&5 u≠9 x&&s==((9 (13 u x-9 (8+(x^2)-(y^2))))/(13 (5 u-9 x)))&&y≠0&&v==-((4 (-9+u x))/(9 y))&&180 t==45 v (-9+(x^2))+52 s x y+36 y (-8+2 u x-(x^2)+(y^2)))||((y^2)≠13&&(x+(Sqrt[5+(y^2)])==0||(Sqrt[5+(y^2)])==x)&&13 (x^2)≠45&&(u==((468 x-9 (Sqrt[13]) (Sqrt[117 (x^4)+45 (97-4 (y^2))+2 (x^2) (-729+26 (y^2))]))/(-585+169 (x^2)))||u==((9 (52 x+(Sqrt[13]) (Sqrt[117 (x^4)+45 (97-4 (y^2))+2 (x^2) (-729+26 (y^2))])))/(-585+169 (x^2))))&&5 u≠9 x&&s==((9 (13 u x-9 (8+(x^2)-(y^2))))/(13 (5 u-9 x)))&&y≠0&&v==-((4 (-9+u x))/(9 y))&&t+v==(1/585) y (169 s x+169 u x-72 (8+(x^2)-(y^2))))

hiermit kann ich nichts anfangen, ich finde keine Gleichung, die nur noch x und y enthält.
Ergänzung 21.3.17
Erwartet habe ich den Kreis x^2+y^2=9+4=13 und das gibt es tatsächlich an der rot hervorgehobenen Stelle.  Die  Einschränkung müsste heißen: x^2<9 und y^2>4, solche Ungleichungen gibt es gar nicht in dem ganzen Wust.

Die Gleichung u+s==v+t hatte ich noch von Hand aus den ersten vier Gleichungen hergeleitet.
Eigentlich müssten die fünf benannten Gleichungen ausreichen.

Reduce[{elliAk,elliBk,Atangk,Btangk,senkk,u+s==v+t}//Evaluate,{u,s,v,t}]

Weil hier False rauskommt, habe ich mich wohl bei u+s=v+t verrechnet.

Das ist ( noch nicht!!!) ein Kreis um O mit dem Radius a^2+b^2=13

..

Die orthoptische Kurve einer Hyperbel ist ein Kreis
mit dem Radius (a^2)-(b^2)

Quit