Kurven sehen und verstehen

Haftendorn Feb. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Aufgabe 7.3 Konfokale Kegelschnitte

elli=x^2/(b^2+e^2)+y^2/b^2==1

hyp=x^2/a^2-y^2/(e^2-a^2)==1

ContourPlot[{elli,hyp}/.{a->2,b->3,e->3}//Evaluate,{x,-5,5},{y,-4,4}, AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Bestimmung des Schnittpunktes

lo=Solve[(z/(a^2))-((y^2)/(-(a^2)+(e^2)))==(z/((b^2)+(e^2)))+((y^2)/(b^2)),z]

{{z->-(((a^2) ((b^2)+(e^2)) (y^2))/((b^2) ((a^2)-(e^2))))}}  (* Abszissenquadrat vom Schnitt*)

lo[[1]]

(z/((b^2)+(e^2)))+((y^2)/(b^2))/.lo[[1]]

loo=Solve[(zz/(b^2))-(((a^2) zz)/((b^2) ((a^2)-(e^2))))==1,zz]

{{zz->-(((b^2) ((a^2)-(e^2)))/(e^2))}}(* Ordinatenquadrat vom Schnitt*)

zy=-(((b^2) ((a^2)-(e^2)))/(e^2))

zx=-(((a^2) ((b^2)+(e^2)) zy)/((b^2) ((a^2)-(e^2))))

(((a^2) ((b^2)+(e^2)))/(e^2))(* Abszissenquadrat vom Schnitt*)

(zx/((b^2)+(e^2)))+(zy/(b^2))==1//Simplify

((a^2)/(e^2))-(((a^2)-(e^2))/(e^2))==1 (*wahre Aussage, ok also*)

Implizite Ableitung Elli

((2x)/((b^2)+(e^2)))+((2y ys)/(b^2))==0/.{x->Sqrt[zx] ,y->Sqrt[zy]}

Solve[((2 (Sqrt[(((a^2) ((b^2)+(e^2)))/(e^2))]))/((b^2)+(e^2)))+((2 (Sqrt[-(((b^2) ((a^2)-(e^2)))/(e^2))]) ys)/(b^2))==0,{ys}]

{{ys->-(((b^2) (Sqrt[(((a^2) ((b^2)+(e^2)))/(e^2))]))/((Sqrt[(((b^2) (-(a^2)+(e^2)))/(e^2))]) ((b^2)+(e^2))))}}//FullSimplify

Implizite Ableitung hyp

((2x)/(a^2))-((2y yh)/(-(a^2)+(e^2)))==0  /.{x->Sqrt[zx] ,y->Sqrt[zy]}

Solve[((2 (Sqrt[(((a^2) ((b^2)+(e^2)))/(e^2))]))/(a^2))-((2 (Sqrt[-(((b^2) ((a^2)-(e^2)))/(e^2))]) yh)/(-(a^2)+(e^2)))==0,yh]//FullSimplify

ys*yh

-(((a^2) (b^2))/((Sqrt[(b^2) (1-((a^2)/(e^2)))]) (Sqrt[(a^2) (1+((b^2)/(e^2)))]) (e^2)))*(((Sqrt[(b^2) (1-((a^2)/(e^2)))]) (Sqrt[(a^2) (1+((b^2)/(e^2)))]) (e^2))/((a^2) (b^2)))//Simplify

Damit ist bewiesen, dass sich konfokale Ellipsen und Hyperbeln stets senkrecht schneiden.