Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Eine Kaustik der Kardioide ist Nephroide

Strategie: Lot auf die Normale, dann A  an S spiegeln,A'=K, die Geraden QK erzeugen die Hüllkurve

Kardioide, Wanderkreis um O mit Radius (a/3), Leine ((2a)/3), Baum (((-a)/3),0)

x[t_]:=(a/3)(2 Cos[t]-Cos[2t])
y[t_]:=(a/3)(2 Sin[t]-Sin[2t])

M={0,0} (* Mittelpunkt des Wanderkreises, r ist sein Radius *)

Der “Baum “ steht bei A=(r,0) mit k=2r, mit r=(a/3).
Der Parameter t ist der Polarwinkel bezogen auf den Baum A.

a=3;ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi}]
a=.

Elimination

Eliminate[{x==(a/3)(2c-(c^2)+(s^2)),y== (a/3)(2 s -2 s c ), (s^2)+(c^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

(((a-3 x))^3) (a+x)+18 ((a^2)-3 (x^2)) (y^2)==27 (y^4)    (* richtig *)

Nullstellen

Solve[(((a-3 x))^3) (a+x)==0,{x}] (* Nullstellen *)

a=3;ContourPlot[(((a-3 x))^3) (a+x)+18 ((a^2)-3 (x^2)) (y^2)==27 (y^4),{x,-3,2},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic, Axes->True]
a=.

Rechnungen zu Tangenten

D[x[t],t]
D[y[t],t]

Steigung bei Parameterwert t.

m[t_]:=(( Cos[t]- Cos[2 t])/(- Sin[t]+Sin[2 t]))//FullSimplify; m[t]

a=3;Plot[{m[t],x[t],y[t],3,-3},{t,0,2Pi},PlotRange->{-4,4}] 

a=.;    (* y oliv *)

Gerade AQ

gaq=y==Tan[t](x-x[t])+y[t]//FullSimplify

Einfallslot

ei=y==((-1)/(m[t]))(x-x[t])+y[t]//FullSimplify

eisc=ei/.{Cos[t]->c,Sin[t]->s, Cos[2t]->(c^2)-(s^2)}

Lot von ((a/3),0) auf das Einfallslot ist parallel zur Tangente

lot=y==m[t](x-(a/3))

lotsc=lot/.{Cos[t]->c,Sin[t]->s, Cos[2t]->(c^2)-(s^2),Sin[2t]->2 s c}

Schnitt mit dem Einfallslot

Eliminate[{lotsc,eisc,(s^2)+(c^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

Das ist die Kurve der Lotfußpunkte und die passt zu GeoGebra

Solve[{lotsc,eisc},{x,y}]//FullSimplify

Rücksubstitution für den Lotfußpunkt S

xs=((a ((((-1+c))^2) (c^2)+(-1-2 (-2+c) c) (s^2)+(s^4)))/(3 ((((-1+c))^2)+(s^2)) ((c^2)+(s^2))))/.{s->Sin[t],c->Cos[t]}//FullSimplify

ys=((2 a (-1+c) s ((-1+c) c-(s^2)))/(3 ((((-1+c))^2)+(s^2)) ((c^2)+(s^2))))/.{s->Sin[t],c->Cos[t]}//FullSimplify

Spiegelung von A am Lotfußpunkt S (S muss Mitte von AK sein)

xk=2xss-(a/3)
yk=2yss

Das ist der Punkt K, durch den die gespiegelte Gerade gehen muss.

Gespiegelte Gerade zu AQ

spiegel=y==((y[t]-yk)/(x[t]-xk))(x-x[t])+y[t]//FullSimplify

y==x Tan[2 t]-(2/3) a Sec[2 t] Sin[t]  (* gespiegelte Gerade*)

f[x_]:=x Tan[2 t]-(2/3) a Sec[2 t] Sin[t]

Hüllkurve

a=3;alle=Table[ x Tan[2 t]-(2/3) a Sec[2 t] Sin[t],{t,0,2Pi, (Pi/50)}];

alleBild=Plot[alle,{x,-2,1.6}, PlotRange->{-3,3}, AspectRatio->Automatic];

a=1;nephi=ContourPlot[4 (a^6)+3 (a^4) (5 (y^2)-4 (x^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3),{x,-2,3},{y,-2,2}, ContourStyle->{Thickness[0.01],Red}];
a=.

Show[alleBild,nephi]

Berechnung der Hülllkurve, Nephroide mit a=1 aufrecht

abl=D[ x Tan[2 t]-(2/3) a Sec[2 t] Sin[t],t]//FullSimplify

ablsc=(1/3) (6 x-3 a Cos[t]+a (Cos[3 t]//TrigExpand))((( Sec[2 t]//TrigExpand))^2)/.{Sin[t]->s,Cos[t]->c}

spiegelsc=(y==-2 (a/3) Sec[2 t] Sin[t]+x Tan[2 t]//TrigExpand) /.{Sin[t]->s,Cos[t]->c}

Eliminate[{((-3 a c+a ((c^3)-3 c (s^2))+6 x)/(3 ((((c^2)-(s^2)))^2)))==0,y==-((2 a s)/(3 ((c^2)-(s^2))))+((2 c s x)/((c^2)-(s^2))),(c^2)+(s^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

Nephroide

4 (a^6)+3 (a^4) (5 (y^2)-4 (x^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.a->1 (* vermutete Nephroide*)

4 (a^6)+972 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)+27 (a^4) (-4 (x^2)+5 (y^2))==2916 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.a->3 (* berechnete Hüllkurve *) //FullSimplify

Beide Kurven stimmen überein, 
also ist die Nephroide als Kaustik der Kardioide erschienen.

4+12 ((((x^2)+(y^2)))^2)-4 ((((x^2)+(y^2)))^3)+3 (-4 (x^2)+5 (y^2))==0