Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Aufg 9.11 Analysis an der Nephroide

Quit

Parameterdarstellung

x[t_]:=(a/2)(3 Cos[t]+Cos[3t])
y[t_]:=(a/2)(3 Sin[t]+Sin[3t])

Grundkreis

kreis=(x^2)+(y^2)==(a^2)

{x[(Pi/2)],y[(Pi/2)],x[Pi],y[Pi]} (*Probe *)

Nephroide, implizte Gleichung

nephroide=4 a^6+3 a^4 (5 x^2-4 y^2)+12 a^2 (x^2+y^2)^2==4 (x^2+y^2)^3

a=1;nephroideBild=ContourPlot[{nephroide//Evaluate,kreis//Evaluate},{x,-2,2},{y,-1.5,1.5}, AspectRatio->Automatic];nephroBild=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,(Pi/2)}, PlotStyle->{Thickness[0.02], Green}];
Show[nephroideBild,nephroBild, Axes->True]
a=.

Flächen (∫_t1^t2)yy[t] xx'[t]dt oder (∫_t1^t2)yy'[t] xx[t]dt

nephA=4Integrate[x[t] D[y[t],t],{t,0,(Pi/2)}] (*4 mal Viertel der Fläche*)

Kreis  F=π (a^2)

nephA-Pi (a^2)

Jedes Möndchen ist so groß wie der Grundkreis.

Bogenlänge s =(∫_t1^t2)(Sqrt[((xx'[t])^2) +((yy'[t])^2)])dt

((D[x[t],t])^2)+((D[y[t],t])^2)

radi=((D[x[t],t])^2)+((D[y[t],t])^2)//FullSimplify

s=4Integrate[3a Cos[t],{t,0,(Pi/2)}] (* 4 mal Viertelbogen*)

Drei Grundkreisdurchmesser passen auf jeder Seite.

Krümmungsradius

In afg9 .8-nephroide-evolute.nb

ist P als Mitte zwischen $Q$ und dem einen Schnittpunkt der Normale mit dem Grundkreis bestimmt worden. Als Punkt der Evolute ist P gleichzeitig auch Krümmungskreismittelpunkt für die Krümmung der Nephroide  im Punkt Q.

xm1=(1/2)(x[t]-a Cos[t] Cos[2 t]+a Sin[t] Sin[2 t])//FullSimplify

ym1=(1/2)(y[t]-Cos[2 t] (a+2 a ((Cos[t])^2) Sec[2 t]) Sin[t])//FullSimplify//PowerExpand

Abstand QP

q=Abs[(Sqrt[(((xm1-x[t]))^2)+(((ym1-y[t]))^2)])]//FullSimplify//PowerExpand//TraditionalForm

Das ist das erwartete Ergebnis, wenn die Nephroide waagerecht liegt und die Evolute senkrecht. Der Abstand (3/2) (Abs[a]) (Abs[cos(t)]) fällt von (3/2) (Abs[a]) bei t=0 auf 0 bei t=(Pi/2).

In der Aufgabe steht , der Abstand sei  (3/2) (Abs[a]) (Abs[sin(t)]). Dabei ist offenbar die aufrechte Form für

 die Nephroide gemeint, wieder mit dem Winkel (OverHat[t]), es ist 
(OverHat[t])=t+(π/(2
)) . 
 Dann beginnt der Abstand mit 0 und wächst (hier im dritten Quadranten) auf (3/2) (Abs[a]).

Besondere Beobachtung

Der andere Mittelpunkt

xm2=(1/2)(x[t]+a Cos[t] Cos[2 t]+a Sin[t] Sin[2 t])//FullSimplify//PowerExpand

ym2=(1/2)(y[t]-Cos[2 t] (a-2 a ((Cos[t])^2) Sec[2 t]) Sin[t])//FullSimplify//PowerExpand

pq2=(Sqrt[(((xm2-x[t]))^2)+(((ym2-y[t]))^2)])//FullSimplify//PowerExpand

In der Datei  (jetzt hier unten) ist auch die andere Mittenkurve, die von M2  gezeichnet, im unteren Bild ockerfarben.

Längs der Normalen in Q auf der grünen Kurve gemessen ist der Abstand zwischen den beiden Mittenkurven in blau und gelb für jedes t     stets a cos(t).  
Oben ist als q2 die Strecke PM2 berechnet..