Kurven sehen und verstehen

Haftendorn Juli 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Inversiongleichungen, Ursprungs-Kreis, Radius k,

Quit

invert={x->(((ki^2)x)/((x^2)+(y^2))),y->(((ki^2)y)/((x^2)+(y^2)))}

Inversion der Cassini’schen Kurven

Cassini’sche Kurven

{e=.,k=.,ki=.};

cassini=((((x^2)+(y^2)))^2)-2(e^2)((x^2)-(y^2))==(k^4)-(e^4)

(cassini)/.invert //Simplify

Das sind alle Kreis-Spiegelbilder  Cassini’schen Kurven in Mittelpunktslage

{ki=2,k=2.9,e=3};
ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(ki^2),(e^4)+(((ki^8)+2 (e^2) (ki^4) (-(x^2)+(y^2)))/((((x^2)+(y^2)))^2))==(k^4),-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4) }, {x,-6,6},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic]

{ki=.,k=.,e=.};

e=3;Manipulate[ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(ki^2),(e^4)+(((ki^8)+2 (e^2) (ki^4) (-(x^2)+(y^2)))/((((x^2)+(y^2)))^2))==(k^4),-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4) },
 {x,-6,6},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic],
{{k,2.9},2,4.3,0.1},
{{ki,1.3},1,3,0.1},SaveDefinitions->True]

Es scheint anallagmatische Konstellationen zu geben, bloß wie finde ich die?

Suche anallagmatische Fälle

casInv=(e^4)+(((ki^8)+2 (e^2) (ki^4) (-(x^2)+(y^2)))/((((x^2)+(y^2)))^2))==(k^4)
cassini=-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4)

Ich berechne die Scheitelpunkte

Solve[cassini/.y->0,x]
Solve[casInv/.y->0,x]

Wenn dass dieselben Scheitel sein sollen, muss gelten

e=.;Solve[((ki^2)/(Sqrt[(e^2)-(k^2)]))==(Sqrt[(e^2)+(k^2)]), ki]

{{ki->-((((e^2)-(k^2)))^(1/4)) ((((e^2)+(k^2)))^(1/4))},{ki->((((e^2)-(k^2)))^(1/4)) ((((e^2)+(k^2)))^(1/4))}}/.{e->3,k->2.9}

Das ist die Kombination, die ich von Hand gefunden hatte. Bei näherem Hinsehen

(ki^4)==(e^4)-(k^4);

Der Fall mit k>e

Solve[cassini/.y->0,x]
Solve[casInv/.x->0,y]

e=.;Solve[((ki^2)/(Sqrt[-(e^2)-(k^2)]))==(Sqrt[-(e^2)+(k^2)]), ki]

bei näherem Hinsehen für den Fall k>e, die eingeschnürten Cassini’schen Kurve}

{e=.,k=.,ki=.};

(ki^4)==(k^4)-(e^4);

kiana=((((k^4)-(e^4)))^(1/4));

{e=3,k=3.1, ki=kiana};ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(ki^2),(e^4)+(((ki^8)+2 (e^2) (ki^4) (-(x^2)+(y^2)))/((((x^2)+(y^2)))^2))==(k^4),-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4) }, {x,-6,6},{y,-5,5}, AspectRatio->Automatic]

bei näherem Hinsehen  für den Fall e>k, die geteilten Cassini’schen Kurven

{ki=.,k=.,e=.};

(ki^4)==-(k^4)+(e^4);

kiana=((((e^4)-(k^4)))^(1/4));

{e=3,k=2.9, ki=kiana};ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(kiana^2),(((ki^4)-2 (e^2) ((x^2)-(y^2)))/((((x^2)+(y^2)))^2))==-1,-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4)}, {x,-5,5},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic,
ContourStyle->{Dashing[{}],{Thickness[0.01],Dashing[0.05]},Dashing[{}]}]

Cassini’sche Kurven,  Polare Form

CasPol=(r^4)-2(e^2)(r^2)Cos[2θ]==(k^4)-(e^4)

e=.

Solve[CasPol,r]

Dieses sind die Polargleichung von Cassini’schen Kurven

{e=3,k=2.9,ki=2};  PolarPlot[{(Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))]),((Sqrt[2 (e^2) Cos[2 θ]-(Sqrt[2]) (Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])])/(Sqrt[2]))},{θ,0,2Pi}]
e=.;k=.;ki=.;  (* die Lösungen mit dem negativen Vorzeichen bringen keine anderen Kurven, blau 1. Term,ocker 2. Term*)

{e=3,k=3.1,ki=2};  PolarPlot[{(Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))])},{θ,0,2Pi}]
e=.;k=.;  (*für größere k , k>3=e) ist der 2. Term nicht definiert, der erste gibt alles wider.*)

{e=3,k=2.9,ki=1.3};  PolarPlot[{ki,(Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))]),((Sqrt[2 (e^2) Cos[2 θ]-(Sqrt[2]) (Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])])/(Sqrt[2])),
(ki^2)((((Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))])))^(-1)),(ki^2)(((((Sqrt[2 (e^2) Cos[2 θ]-(Sqrt[2]) (Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])])/(Sqrt[2]))))^(-1))},{θ,0,2Pi}, PlotStyle->Thickness[0.02]]
e=.;k=.;ki=.;

PolarPlot[{1,2,3,4,5},{t,0,2 π}]

{e=3,ki=1.3};
Manipulate[  PolarPlot[{(Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))]),((Sqrt[2 (e^2) Cos[2 θ]-(Sqrt[2]) (Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])])/(Sqrt[2])),ki,
(ki^2)((((Sqrt[(e^2) Cos[2 θ]+((Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])/(Sqrt[2]))])))^(-1)),(ki^2)(((((Sqrt[2 (e^2) Cos[2 θ]-(Sqrt[2]) (Sqrt[-(e^4)+2 (k^4)+(e^4) Cos[4 θ]])])/(Sqrt[2]))))^(-1))},
{θ,0,2Pi},
PlotRange->{{-4.2,4.2},{-3,3}}, PlotStyle->Thickness[0.02]],
{{k,2.9},1.2,4,0.1}
]

Für welches k haben die einteiligen Cassini’schen Kurven keine Einbuchtung mehr?

Strategie: Gerade durch den obern Scheitel, wann schneidet diese Gerade nicht nochmal?

oberer Scheitel der blauen Cassini’schen Kurven

cassini

Solve[(-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4))/.x->0,{y}]

cassini/.{y->(Sqrt[-(e^2)+(k^2)])}

Solve[-2 (e^2) ((e^2)-(k^2)+(x^2))+(((-(e^2)+(k^2)+(x^2)))^2)==-(e^4)+(k^4),{x}]

Für welches k fällt der eine Scheitel der zweiteiligen Kurven auf den Rand des Inversionskreises?

x-Achsen-Scheitel der grünen Cassini’schen Kurven

cassini

-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4)

Solve[(-2 (e^2) ((x^2)-(y^2))+((((x^2)+(y^2)))^2)==-(e^4)+(k^4))/.y->0,{x}]

(Sqrt[5.])