Kurven sehen und verstehen

Haftendorn Juli 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Kettenlinie und Katenoid, Aufgabe 9.19

Unten steht noch etwas über andere Ansätze

DGL für die Kettenlinie, Schupp hat den Faktor auf der anderen Seite wie Glaeser
(((a y''))^2) =1 +(((y'))^2)  und das klappt mit y=a csoh((x/a))

f[x_]:=a Cosh[(x/a)]

Diese Gleichung steht bei Glaeser Werkzeugkasten, S 343 und im Bronstein und Schupp

D[f[x],x]
D[f[x],{x,2}]

linke Seite, quadriert

(1+((Sinh[(x/a)])^2))//Simplify

und das ist nun wirklich

(a^2)(((((Cosh[(x/a)])/a)))^2)

Also wird die von Schupp hergeleitete DGL von y=a Cosh[(x/a)]  gelöst.

Siehe dagegen unten andere Ansätze

Anpassung für Aufgabe 9.19

yA=f[2]

yA/.a->0.8

Hyperbel

hyp=(y^2)==(a^2)(1+((x^2)/(b^2)))

lb=Solve[(yA^2)==(a^2) (1+((2^2)/bq)),{bq}]

bq=4 ((Csch[(2/a)])^2) (*KoSekansHyperbolicus=1/ SinusHyperbolicus *)

bq/.a->0.8
b=(Sqrt[bq])/.a->0.8

Parabel

para=y==d  (x^2)+a

d=((yA-a)/4)/.a->0.8//N

polynom 4. Grades

poly=y==c (x^4)+a;

c=((yA-a)/16)/.a->0.8//N

alle

a=0.8;ContourPlot[{hyp//Evaluate, poly//Evaluate,para//Evaluate,y==f[x]},
{x,-2.2,2.2},{y,-0.1,5.1}, AspectRatio->Automatic]
a=.

Volumina

Volumen Katenoid

2 Pi Integrate[(a Cosh[x/a])^2,x]

2 (a^2) π ((x/2)+(1/4) a Sinh[((2 x)/a)])

2 Pi Integrate[(a Cosh[x/a])^2,{x,0,2}]/.a->0.8

Volumen Hyperboloid

2 Pi Integrate[a^2(1+x^2/b^2),{x,0,2}]/.a->0.8

Volumen Paraboloid

2 Pi Integrate[(d x^2+a)^2,{x,0,2}]/.a->0.8

Volumen Quartik

2 Pi Integrate[(((c (x^4)+a))^2),{x,0,2}]/.a->0.8

3D-Ansichten

3D Katenoid

katenoid=ParametricPlot3D[{{ye Cos[u],ye Sin[u],2},{ye Cos[u],ye Sin[u],-2},{a Cosh[v/a]Cos[u],a Cosh[v/a]Sin[u],v}},{v,-2,2},{u,0,2Pi},Mesh->None, Boxed->False, Axes->False,PlotStyle->{{Thickness[0.1],Black},{Thickness[0.1],Black},{Opacity[0.8], ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[z]]}}]

hyperboloid=ContourPlot3D[+x^2/a^2+y^2/a^2-z^2/b^2==1,{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-2,2},Mesh->None, Boxed->False, Axes->False,ContourStyle->{Opacity[0.5],   Green
},AspectRatio->0.5]

paraboloid=ParametricPlot3D[{{ye Cos[u],ye Sin[u],2},{ye Cos[u],ye Sin[u],-2},{(1/(2p)v^2+a)Cos[u],(1/(2p)v^2+a)Sin[u],v}},{v,-2,2},{u,0,2Pi}, Boxed->False, Axes->False,Mesh->None,PlotStyle->{{Thickness[0.2],Yellow},{Thickness[0.2],Yellow},{Opacity[0.9], Lighter,Blue }}]

Show[paraboloid, hyperboloid,katenoid]

GraphicsRow[{ hyperboloid,paraboloid,katenoid}]

Export["C:\\Users\\User\\Kurven-erkunden-und-verstehen\\Mathematica-kurven\\katenoid+.eps",%88,"EPS"]

Mantelflächen   M= 2 π Integrate[f(x)(Sqrt[1+f'(((x))^2) ]),{x,a,b}]

M[x_]:=4π Integrate[g[x] (Sqrt[1+g'[x]]),{x,0,2}]

Mantel Katenoid

a=.

f[x] (Sqrt[1+((f'[x])^2)])//Simplify//PowerExpand

4π Integrate[a (((Cosh[(x/a)]))^2),x]

Mka=4 π Integrate[a (((Cosh[(x/a)]))^2),{x,0,2}]

Mk=Mka/.a->0.8

Mantel Paraboloid

d=.

par[x_]:=d x^2+a;par[x]

par[x] (Sqrt[1+((par'[x])^2)])//Simplify//PowerExpand

4 π Integrate[par[x] (Sqrt[1+((par'[x])^2)]),x] //Simplify

d=((yA-a)/4)/.a->0.8//N

Mpa=4 π Integrate[par[x] (Sqrt[1+((par'[x])^2)]),{x,0,2}]/.a->0.8 //Simplify

Mantel Hyperboloid

hy[x_]:=a (Sqrt[1+((x^2)/(bb^2))])

hy[x] (Sqrt[1+((hy'[x])^2)])//Simplify//PowerExpand

4 π Integrate[hy[x] (Sqrt[1+((hy'[x])^2)]),x] //FullSimplify

bq/.a->0.8
b=(Sqrt[bq])/.a->0.8

Mhy=4 π Integrate[hy[x] (Sqrt[1+((hy'[x])^2)])/.{a->0.8,bb->b},{x,0,2}]

Mantel Quartik

c=.

pol[x_]:=c (x^4)+a; pol[x]

pol[x] (Sqrt[1+((pol'[x])^2)])//Simplify//PowerExpand

c=((yA-a)/16)/.a->0.8//N

a=0.8;4 π Integrate[pol[x] (Sqrt[1+((pol'[x])^2)]),x]//Simplify

Mpol= 2 π Integrate[pol[x] (Sqrt[1+((pol'[x])^2)]),{x,-2,2}]//Chop

{Mhy,Mpa,Mpol,Mk}

{((Mhy-Mk)/Mk),((Mpa-Mk)/Mk),((Mpol-Mk)/Mk)}

Andere Ansätze

DGL von Glaeser  a(Sqrt[1+((y' )^2)])=y''

f[x_]:=a Cosh[(x/a)]

Diese Gleichung steht bei Glaeser Werkzeugkasten, S 343 und im Bronstein

D[f[x],x]
D[f[x],{x,2}]

linke Seite, quadriert

(a^2)(1+((Sinh[(x/a)])^2))=a^2 ((Cosh[(x/a)])^2)

und das ist nicht

(((((Cosh[(x/a)])/a)))^2)

Also wird die hergeleitete DGL von y=a Cosh[(x/a)]  gar nicht gelöst.

Versuch mit b

Jetzt mal auf den Punkt gebracht  a(Sqrt[1+((y' )^2)])=y''

fb[x_]:=b Cosh[(x/a)]

Diese Gleichung ist allgemeiner

D[fb[x],x]
D[fb[x],{x,2}]

linke Seite, quadriert

(a^2)(1+((b^2)/(a^2))  ((Sinh[(x/a)])^2))=a^2+(b^2) ((Sinh[(x/a)])^2)=(a^2)+(b^2)(((Cosh[(x/a)])^2)-1)

und das ist nicht

(((((b Cosh[(x/a)])/(a^2))))^2)

kann man b bestimmen, so dass das stimmt.  B=(b^2)

Solve[(a^2)+B(C-1)==B(C/(a^2)),B]

B ist also keine Konstante, d.h. So kommt man nicht aus dem Dilemma

Also wird die hergeleitete DGL von y=b Cosh[(x/a)]  mit einer Konstanten b gar nicht gelöst. Da ist wohl die DGL falsch.
Es zeigt sich oben, dass das a in der DGL auf die andere Seite gehört.