Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Afg9.4 Pedalkurven der Astroide

Kardioir

Im Buch kommt die Astroide mehrfach vor. In Abb. 8.22 Seite 242 sieht man schon eine Fußpunktkurve, nämlich die mit dem Pol im Ursprung. Hier ist nun die Aufgabenstellung, die Stellung des Pols zu variieren.
In Abb.~9.7 auf Seite 271 sind die Tangenten mit ihrer Steigung als Parameter schon angegeben.

Quit

xa[α_]:=-a ((Cos[α])^3)
ya[α_]:=a ((Sin[α])^3)

a=3;

astroBild=ParametricPlot[{xa[α],ya[α]},{α,0,2Pi},
Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotStyle->{Thickness[0.015], RGBColor[0,0.8,0]}]

a=.

Eliminieren von α ging nicht einfach so, aber man sieht es mit bloßem Auge

Eliminate[{x==a c^3,y==a s^3,c^2+s^2==1},{c,s}] //FullSimplify(* richtig, aber unbrauchbar*)

(a^6)+3 (a^2) ((x^4)-7 (x^2) (y^2)+(y^4))-3 (a^4) ((x^2)+(y^2))-((((x^2)+(y^2)))^3)

(a^6)-3 (a^4) ((x^2)+(y^2))-((((x^2)+(y^2)))^3)+3 (a^2) ((x^4)-7 (x^2) (y^2)+(y^4))

a=3;ContourPlot[(a^6)-3 (a^4) ((x^2)+(y^2))-((((x^2)+(y^2)))^3)+3 (a^2) ((x^4)-7 (x^2) (y^2)+(y^4))==0,{x,-3,3},{y,-3,3}]
a=.

Implizite kartesische Gleichung ist also

astroide=(x^(2/3))+(y^(2/3))==(a^(2/3));

Andere Darstellungen

CubeRoot[(x^2)]+CubeRoot[(y^2)]==CubeRoot[(a^2)]

astroBildImpl=ContourPlot[CubeRoot[(x^2)]+CubeRoot[(y^2)]==CubeRoot[(a^2)],{x,-5,5},{y,-5,5},
Axes->True, AspectRatio->Automatic, ContourStyle->{Thickness[0.015], RGBColor[0,0.8,0]}]

Tangente

tan1[x_]:=Tan[α](x-xa[α])+ya[α]

Lot von A=(c,d) auf die Tangente

lot[x_]:=-Cot[α](x-c)+d

Schnittpunkt

a=.

tan1[x]==lot[x]

SS=Solve[a ((Sin[α])^3)+(x+a ((Cos[α])^3)) Tan[α]==d-(-c+x) Cot[α],{x}]//FullSimplify

Sy=lot[x]/.SS[[1,1]]//Simplify

Sx=SS[[1,1,2]]

Pedalkurven zur Astroide mit Manipulate

a=3;

Manipulate[Show[astroBild,
ParametricPlot[{Cos[α] (c Cos[α]+Sin[α] (d-a Sin[α])),(1/2) Sin[α] (a+2 c Cos[α]+a Cos[2 α]+2 d Sin[α])},{α,0,2Pi},PlotStyle->{Thickness[0.01],Red} ],
Plot[((x+a Cos[α]^3) Tan[α]+a Sin[α]^3), {x,-3,6},PlotRange->{-5,5},PlotStyle->Black,  AspectRatio->Automatic] , (*tanBild,lotBild,*)
Plot[  -Cot[α](x-c)+d, {x,-3,6},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic],Graphics[{PointSize[0.025],Blue,Point[{c,d}],PointSize[0.02],Black,Point[{Cos[α] (c Cos[α]+Sin[α] (d-a Sin[α])),(1/2) Sin[α] (a+2 c Cos[α]+a Cos[2 α]+2 d Sin[α])}]}]
],
Style["Astroide+Pedalkurve",30],
Style["Fälle das Lot vom blauen Punkt A=(c,d) auf die Tangenten.\nGezeigt ist die Ortskurve des Fußpunktes.",14],(*{{a,3},2,3},*)
{{c,2},0,6},{{d,1},0,6},{{α,1},0.001,2Pi-0.001},
FrameLabel->{{None,None},{"www.kurven-erkunden-und-verstehen.de",None}},
LabelStyle->Directive[RGBColor[0.7,0,0],Medium],
SaveDefinitions->True]

Herleitung der impliziten Formel für die Pedalkurve gelingt, 
            ist aber nicht praktisch.

Eliminate[{x==Cos[α] (c Cos[α]+Sin[α] (d-a Sin[α])),y==(1/2) Sin[α] (a+2 c Cos[α]+a Cos[2 α]+2 d Sin[α])},{α}]//FullSimplify

a=.

Eliminate[{x==co (c co+si (d-a  si)),y==(1/2) si (a+2 c co+a (co^2)-a (si^2)+2 d si),(co^2)+(si^2)==1},{co,si}]//FullSimplify

c=2;a=3;d=1;ContourPlot[(a^2) (((c-x))^2) (((d-y))^2)==((((c-x))^2)+(((d-y))^2)) ((((c-x) x+(d-y) y))^2),{x,-3,3},{y,-3,3}]
c=.;d=.;a=.;

(a^2) (((c-x))^2) (((d-y))^2)==((((c-x))^2)+(((d-y))^2)) ((((c-x) x+(d-y) y))^2)/.d->0 //FullSimplify