Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Afg9.4 Pedalkurven der Steinerkurve

Quit

ρ = a = Radius des Rollkreises und Umkreisradius = 3 ρ =3 a

xst[t_]:=a (2Cos[t]+Cos[2t])
yst[t_]:=a (2Sin[t]-Sin[2t])

a=2;(* sonst ρ genannt *)

steinerBild=ParametricPlot[{xst[t],yst[t]},{t,0,2Pi},
Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotStyle->{Thickness[0.015], RGBColor[0,0.8,0]},PlotRange->{{-6,8},{-6,6}}]
a=.

Eliminieren von t

TrigExpand[Cos[2t]]
TrigExpand[Sin[2t]]

(*c=Cos[t]; s=Sin[t]*)
 Eliminate[{x==a (2c+c^2-s^2),y==a (2s-2 s c ),c^2+s^2==1},{c,s} ]//FullSimplify

Subtract@@((((3 a-x))^3) (a+x)==2 (9 (a^2)+12 a x+(x^2)) (y^2)+(y^4))//Expand

Vergleich mit der Gleichung im Buch gelingt

(x−3a)^3(x+a)+y^2(2x^2+y^2+24a x+18 a^2)//Expand

Eliminieren von t ging nicht ohne obige Substitution,
 Zum Vergleich nochmal mit Reduce:

Reduce[{x == xst[t], y == yst[t] }, t]

(C[1]∈Integers&&((9 (a^3)+12 (a^2) x+a (x^2)-2 (x^3)≠0&&(((3 a-x) (3 (a^2)+5 a x+2 (x^2)) (3 (a^2)+2 a x+(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)]))≠0&&((y==-(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)-2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])&&t==2 ArcTan[(((Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)-2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])]) (-3 a x-2 (x^2)+(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])))/(9 (a^3)+12 (a^2) x+a (x^2)-2 (x^3)))]+2 π C[1])||(y==(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)-2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])&&t==-2 ArcTan[(((Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)-2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])]) (-3 a x-2 (x^2)+(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])))/(9 (a^3)+12 (a^2) x+a (x^2)-2 (x^3)))]+2 π C[1])))||((3 a-x) (3 (a^2)+5 a x+2 (x^2)) (3 (a^2)+2 a x-(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)]))≠0&&((y==-(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])&&t==-2 ArcTan[(((3 a x+2 (x^2)+(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])) (Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])]))/(9 (a^3)+12 (a^2) x+a (x^2)-2 (x^3)))]+2 π C[1])||(y==(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])&&t==2 ArcTan[(((3 a x+2 (x^2)+(Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])) (Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])]))/(9 (a^3)+12 (a^2) x+a (x^2)-2 (x^3)))]+2 π C[1])))))||(x==-a&&y==0&&t==π+2 π C[1])))||(C[1]∈Integers&&a≠0&&x==-((3 a)/2)&&((y==-((3 (Sqrt[3]) a)/2)&&t==-((2 π)/3)+2 π C[1])||(y==((3 (Sqrt[3]) a)/2)&&t==((2 π)/3)+2 π C[1])))||(C[1]∈Integers&&a≠0&&x==-a&&((y==-2 (Sqrt[(a^2)])&&t==-2 ArcTan[((Sqrt[(a^2)])/a)]+2 π C[1])||(y==2 (Sqrt[(a^2)])&&t==2 ArcTan[((Sqrt[(a^2)])/a)]+2 π C[1])))||(C[1]∈Integers&&a≠0&&x==3 a&&((y==-6 I (Sqrt[3]) a&&t==2 I ArcTanh[(Sqrt[3])]+2 π C[1])||(y==6 I (Sqrt[3]) a&&t==-2 I ArcTanh[(Sqrt[3])]+2 π C[1])||(y==0&&t==2 π C[1])))||(((-π+t)/(2 π))∉Integers&&a==0&&x==0&&y==0)

y==-(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])

(y^2)==-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])

(y^2)-(-9 (a^2)-12 a x-(x^2))==+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])

(((9 (a^2)+12 a x+(x^2)+(y^2)))^2)==4  a (((3 a+2 x))^3)

Implizite kartesische Gleichung ist also

steiner=(((9 (a^2)+12 a x+(x^2)+(y^2)))^2)==4 a (((3 a+2 x))^3);

Vergleich mit den obigen Gleichungen gelingt

Subtract@@((((9 (a^2)+12 a x+(x^2)+(y^2)))^2)==4 a (((3 a+2 x))^3))//Expand

Andere Darstellungen

a=2;steinerBildImpl=ContourPlot[(((9 (a^2)+12 a x+(x^2)+(y^2)))^2)==4 a (((3 a+2 x))^3),{x,-3,6},{y,-5,5},
Axes->True, AspectRatio->Automatic, ContourStyle->{Thickness[0.015], RGBColor[0,0.8,0]}]
a=.

f[x_]:=-(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)+2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])]) 
g[x_]:=-(Sqrt[-9 (a^2)-12 a x-(x^2)-2 (Sqrt[a (((3 a+2 x))^3)])])

Plot[{f[x],-f[x],g[x],-g[x]},{x,-3,6},AspectRatio->Automatic]

fs[x_]:=D[f[x],x]//FullSimplify

fs[u]//FullSimplify

gs[x_]:=D[g[x],x]//FullSimplify

gs[u]

Tangente

tan1[x]:=fs[u](x-u)+f[u]

tan2[x_]:=-fs[u](x-u)-f(u)

tan3[x]:=gs[u](x-u)+g[u]

tan4[x_]:=-gs[u](x-u)-g(u)

Nullstellen der Steinerkurve

((((9 (a^2)+12 a x+(x^2)+(y^2)))^2)==4 a (((3 a+2 x))^3))/.y->0

Solve[(((9 (a^2)+12 a x+(x^2)))^2)==4 a (((3 a+2 x))^3),{x}]

Pedalkurven aus der der Parameterdarstellung, Pol A=(b,0)

D [xst[t],t]/.t->q
D [yst[t],t]/.t->q

Tangente in Q=(xst[q],yst[q])

tan[x_]:=(((2 Cos[q]-2 Cos[2 q]) (x-xst[q]))/(-2 Sin[q]-2 Sin[2 q]))+yst[q]//Simplify
tan[x]

A und das Lot

lot[x_]:=  (((Sin[q]+Sin[2 q]))/((Cos[q]-Cos[2 q])))(x-b)

Schnittpunkt

tan[x]==lot[x]

SS=Solve[tan[x]==lot[x],{x}]//Simplify

Sy=tan[x]/.SS[[1,1]]//Simplify

Sx=SS[[1,1,2]]

{Sx,Sy}/.a->2   (* Für die Zeichnung reciht ein festes a*)

tan[x]/.a->2

lot[x]/.a->2

Pedalkurven zur Steinerkurven mit Manipulate

Manipulate[Show[steinerBild,
ParametricPlot[{(1/2) (b+(2+b) Cos[t]-2 Cos[2 t]),(1/2) (2-b+4 Cos[t]) Sin[t]}//Evaluate,{t,0,2Pi},PlotStyle->Red ],

Plot[(2-x+4 Cos[q]) Tan[(q/2)], {x,-6,8},PlotRange->{-5,5},PlotStyle->Black,  AspectRatio->Automatic] , (*tanBild,lotBild,*)

Plot[  (((Sin[q]+Sin[2 q]))/((Cos[q]-Cos[2 q])))(x-b), {x,-6,8},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic],Graphics[{PointSize[0.025],Blue,Point[{b,0}],PointSize[0.02],Black,Point[{(1/2) (b+(2+b) Cos[q]-2 Cos[2 q]),(1/2) (2-b+4 Cos[q]) Sin[q]}]}]
],
Style["Steinerkurve+Pedalkurve",30],
Style["Fälle das Lot vom blauen Punkt A=(b,0) auf die Tangenten.\nGezeigt ist die Ortskurve des Fußpunktes.",14],
{{b,2},-10,10},{{q,1},0.001,2Pi-0.001},
FrameLabel->{{None,None},{"www.kurven-erkunden-und-verstehen.de",None}},
LabelStyle->Directive[RGBColor[0.7,0,0],Medium],
SaveDefinitions->True]

Implizite Gleichung der Pedalkurven

{(1/2) (b+(a+b) Cos[q]-a Cos[2 q]),(1/2) (a-b+2 a Cos[q]) Sin[q]}

Substitution

stpedal=Eliminate[{x==(1/2) (b+(a+b) c-a c^2+a s^2),y==(1/2) (a-b+2 a c) s,c^2+s^2==1},{c,s}]

stped=(Subtract@@stpedal)//FullSimplify

pedale=(y^4)==(x-b)((y^2)(3a+b-2x)-(((x-b))^2)(a+x));

b=2;a=2;ContourPlot[(y^4)==(x-b)((y^2)(6+b-2x)-(((x-b))^2)(2+x)),{x,-2,3},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic]
b=.;a=.;

Vergleich von dieser Gleichung mit dem Buch   gelingt

a=.

(y^4)-(x-b)((y^2)(3a+b-2x)-(((x-b))^2)(a+x))//Expand    (* Gleichung von oben *)

((((((x−b))^2)+(y^2)))^2)+(((x−b))^3)(a+b)−(3a−b)(x−b)(y^2)//Expand  (* Gleichung aus dem Buch ,passt *)