Kurven sehen und verstehen

Haftendorn April. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Afg9.5 Teil 1: Contra-Pedalkurven der Parabel.
negative Fußpunktkurven

Definition 9.2 (Negative Fußpunktkurve)
Zu jeder Kurve C und jedem festen Punkt A, Pol genannt, lasst sich eine negative
Fußpunktkurve C_N erzeugen. In einem beliebigen Punkt Q der Kurve C wird auf
der Strecke AQ im Q die Senkrechte errichtet. Die Hüllkurve aller dieser Senkrechten
ist die negative Fußpunktkurve von C mit dem Pol A. Die englische
Bezeichnung der negativen Fußpunktkurven ist negative pedal curves oder contra
pedals.

Quit

Herleitung der Tschirnhaus-Kubik

parabel=y^2==2 p x

A={c,d}; Q={u,v}; v^2==2 p u   (* später A=F={(p/2),0}*)

c=.;d=.;p=.;

Senkrechte auf AQ in Q

tant=y==-((c-u)/(d-v))(x-u)+v

Ersetzen von u durch die Weg-Gleichung

u==((v^2)/(2p));(* Weg von Q*)

tant

p=1;c=0.5;d=0;v-(((c-((v^2)/(2 p))) (-((v^2)/(2 p))+x))/(d-v))
alle=Table[v-(((c-((v^2)/(2 p))) (-((v^2)/(2 p))+x))/(d-v)),{v,-6,6,0.1}];

Plot[alle,{x,-3,9}, PlotRange->{-4,4}, AspectRatio->Automatic]

Geradenschar mit Parameter v, Hüllkurve gesucht

Extremum-Methode für d=0

p=.;c=.; d=0;

v+(((c-((v^2)/(2 p))) (-((v^2)/(2 p))+x))/(v-d))//Expand

D[v-((c v)/(2 p))+((v^3)/(4 (p^2)))+((c x)/v)-((v x)/(2 p)),v]

Solve[1-(c/(2 p))+((3 z)/(4 (p^2)))-(x/(2 p))-((c x)/z)==0,z]  (*   z=(v^(2   ))*)

Ausnutzung im Spezialfall A=Brennpunkt F=((p/2),0)

(1/6) (2 c p-4 (p^2)+2 p x+(Sqrt[48 c (p^2) x+(((-2 c p+4 (p^2)-2 p x))^2)]))/.c->(p/2)

(1/6) (2 c p-4 (p^2)+2 p x-(Sqrt[48 c (p^2) x+(((-2 c p+4 (p^2)-2 p x))^2)]))/.c->(p/2)//FullSimplify

(1/6) (-3 (p^2)+2 p x+(Sqrt[(p^2) (((3 p+2 x))^2)]))

(1/6) (-3 (p^2)+2 p x+p(3 p+2 x))//Simplify  (* Wurzel im Kopf gezogen *)

(1/6) (-3 (p^2)+2 p x-p(3 p+2 x))//Simplify

Dies trägt nicht zur Lösung bei, (v^2)=-(p^(2 )) geht nicht, p=0 ist keine Parabel

Einsetzen in die Gleichung der Schar v=(Sqrt[((2 p x)/3)])

(( (v^2))/(2p))  ->(x/3)

y==v+(((c-((v^2)/(2 p))) (-((v^2)/(2 p))+x))/v)/.c->(p/2)  (* Nur für dieses c gilt v *)

y==((((2 p x)/3)+((p/2)-(x/3)) (-(x/3)+x))/(Sqrt[((2 p x)/3)]))//FullSimplify

y==(((9 p-2 x) x)/(3 (Sqrt[6]) (Sqrt[p x])))  (* Quadrieren *)

Tschirnhaus=54 p (y^2)==(((9p-2x))^2)x;

Das ist die Formel, die im Buch steht.

Aufgabe 9.5 Teil 2: Pedalkurven der Tschirnhaus-Kubik

Bestimmung der Pedalkurven der Tschirnhauskubik

Quit

54 p (v^2)==(((9p-2u))^2)u;  (*Tschirnhaus-Kubik*)

Q={u,v} sei nun ein Punkt auf der Tschirnhaus-Kubik und A={c,d} ein Pol. Wir beschaffen die Tangente in Q und fällen von A aus das Lot auf diese Tangente. Gesucht ist die Ortskurve des Schnittpunktes von Tangente und Lot.

D[(((9p-2x))^2)x,x]  (* rechte Seite *)

%//Simplify

108 p y y'==81 (p^2)-72 p x+12 (x^2)     (* implizite Ableitung der Kubik*) //Simplify

Tangente in Q

tang=y==((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p v))(x-u) +v;

Lot von A auf die Tangente

y==((-36 p v)/(27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u))(x-c)+d

Sei im Folgenden zunächst der Fall d=0 betrachtet

d=0;

lot=y==-((36 p v (-c+x))/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))

Konkreter Fall p=1,c=(1/2), u=6  
A=F und Q speziell

54 (y^2)==(((9-2x))^2)x;

%/.x->6

Also Q={6,- 1 } oder  Q={6, 1 }, als Konketrisierungen obiger Formeln

(((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p v))(x-u) +v/.v->-1 )/.u->6 //Simplify

(7/2)-((3 x)/4)    (* Tangententerm, passt*)

(-((36 p v (-c+x))/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))/.v->-1 )/.u->6 //Simplify

(2/3) (-1+2 x)  (* Lotterm, passt*)

Solve[y==7/2-3x/4&&y==((-2)/3)+(4/3)x,{x,y}]

{{x->2,y->2}}    (*passt*)

Also klappt der konkrete Fall, siehe GeoGebra-Bild beim Allgemeinen Fall (unten)

Allgemeinerer Fall für A=F=((p/2),0)

p=.; c=(p/2);d=0

Tangente in Q

tang=y==((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p v))(x-u) +v;

Lot von F auf die Tangente

y==((-36 p v)/(27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u))(x-(p/2))

Q auf Kubik

54 p (v^2)==(((9p-2u))^2)u;  (*Tschirnhaus-Kubik*)

Solve[54 p (v^2)==(((9 p-2 u))^2) u,{v}]

Solve[{y==((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p (((9 p-2 u) (Sqrt[u]))/(3 (Sqrt[6]) (Sqrt[p])))))(x-u) +(((9 p-2 u) (Sqrt[u]))/(3 (Sqrt[6]) (Sqrt[p]))),y==-((36 p (((9 p-2 u) (Sqrt[u]))/(3 (Sqrt[6]) (Sqrt[p]))) (-(p/2)+x))/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2))) },{x,y}]

Eliminate[{x==(u/3),y==(Sqrt[(2/3)]) (Sqrt[p]) (Sqrt[u])},u]

Das ist die erwartete Parabel.

konkrete Fälle passen

p=1;c=(1/2); ParametricPlot[{{xs[u],ys[u]}//Evaluate,{xs[u],-ys[u]}//Evaluate},{u,0.001,7 }]
p=.;c=.;

Allgmeinerer Fall mit A=(c,0)

Quit

Tangente in Q

tang=y==((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p v))(x-u) +v;

Lot von A auf die Tangente

y==((-36 p v)/(27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u))(x-c)+d

nochmal d=0, ist ein Sonderfall

d=0;

lot=y==-((36 p v (-c+x))/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))

Solve[{lot,tang},{x,y}]

In dem Ausdruck für x kommt v nur quadratisch vor. Q auf der Kubik heißt:

54 p (v^2)==(9 p-2 u)^2  u;

(v^2)==((u (9 p-2 u)^2)/(54 p));

-((-729 (p^4) u+1296 (p^3) (u^2)-792 (p^2) (u^3)+192 p (u^4)-16 (u^5)-1296 c (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))+972 (p^3) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))-864 (p^2) u ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))+144 p (u^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))/(729 (p^4)-1296 (p^3) u+792 (p^2) (u^2)-192 p (u^3)+16 (u^4)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))))//FullSimplify

xs[u_]:=((u (9 (8 c-3 p) p+12 p u+4 (u^2)))/(3 (((3 p+2 u))^2)))

ys[u_]:=(36 p (Sqrt[((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))]) (27 c (p^2)-24 c p u-27 (p^2) u+4 c (u^2)+24 p (u^2)-4 (u^3)+36 p ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))))/(729 (p^4)-1296 (p^3) u+792 (p^2) (u^2)-192 p (u^3)+16 (u^4)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))

ys[u]//FullSimplify

((2 (Sqrt[(2/3)]) (9 p-2 u) u (9 c p-6 c u+9 p u+2 (u^2)))/((Sqrt[(((((9 p-2 u))^2) u)/p)]) (((3 p+2 u))^2)))
ys[u_]:=((2 (Sqrt[(2/3)]) (9 p-2 u) u (9 c p-6 c u+9 p u+2 (u^2)))/((Sqrt[(((((9 p-2 u))^2) u)/p)]) (((3 p+2 u))^2)))

p=1;c=-2; ParametricPlot[{{xs[u],ys[u]}//Evaluate,{xs[u],-ys[u]}//Evaluate},{u,0.001,7 }]
p=.;c=.;

Weiter allgemeines A=(c,d)

54 p (v^2)==(9 p-2 u)^2  u;

(v^2)==((u (9 p-2 u)^2)/(54 p));

Tangente in Q

tang=y==((27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u)/(36 p v))(x-u) +v;

Lot von A auf die Tangente

d=.;c=.;lot=y==((-36 p v)/(27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u))(x-c)+d

Solve[{lot,tang},{x,y}]

xs=-((-d-((u (27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))/(36 p v))+v-((36 c p v)/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2))))/(((27 (p^2)-24 p u+4 (u^2))/(36 p v))+((36 p v)/(27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))))//FullSimplify

Ersetzten von (v^2) und v  per Hand, da es sonst nicht richtig funktionierte.

(((((3 p-2 u))^2) (((9 p-2 u))^2) u+36 d p (3 p-2 u) (((9 p-2 u))^2) (Sqrt[((u )/(54 p))])+36 p (9 (4 c-3 p) p+24 p u-4 (u^2)) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))/((((27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))^2)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))))

xs=(((((3 p-2 u))^2) (((9 p-2 u))^2) u+36 d p (3 p-2 u) (((9 p-2 u))^2) (Sqrt[((u )/(54 p))])+36 p (9 (4 c-3 p) p+24 p u-4 (u^2)) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))/((((27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))^2)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))//FullSimplify)

xs2=(((((3 p-2 u))^2) (((9 p-2 u))^2) u-36 d p (3 p-2 u) (((9 p-2 u))^2) (Sqrt[((u )/(54 p))])+36 p (9 (4 c-3 p) p+24 p u-4 (u^2)) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))/((((27 (p^2)-24 p u+4 (u^2)))^2)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))//FullSimplify)

-(Collect[-729 d (p^4)+1296 d (p^3) u-792 d (p^2) (u^2)+192 d p (u^3)-16 d (u^4)-972 c (p^3) v+864 c (p^2) u v+972 (p^3) u v-144 c p (u^2) v-864 (p^2) (u^2) v+144 p (u^3) v-1296 (p^2) (v^3),v]/(729 (p^4)-1296 (p^3) u+792 (p^2) (u^2)-192 p (u^3)+16 (u^4)+1296 (p^2) (v^2)))

%

ys=(-((-729 d (p^4)+1296 d (p^3) u-792 d (p^2) (u^2)+192 d p (u^3)-16 d (u^4)+((-972 c (p^3)+864 c (p^2) u+972 (p^3) u-144 c p (u^2)-864 (p^2) (u^2)+144 p (u^3)) -1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))(Sqrt[((u )/(54 p))])(9 p-2 u))/(729 (p^4)-1296 (p^3) u+792 (p^2) (u^2)-192 p (u^3)+16 (u^4)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))))//FullSimplify)

ys2=(-((-729 d (p^4)+1296 d (p^3) u-792 d (p^2) (u^2)+192 d p (u^3)-16 d (u^4)-((-972 c (p^3)+864 c (p^2) u+972 (p^3) u-144 c p (u^2)-864 (p^2) (u^2)+144 p (u^3)) -1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p)))(Sqrt[((u )/(54 p))])(9 p-2 u))/(729 (p^4)-1296 (p^3) u+792 (p^2) (u^2)-192 p (u^3)+16 (u^4)+1296 (p^2) ((u (9 p-2 u)^2)/(54 p))))//FullSimplify)

Konkretisierungen

p=1;c=-1;d=2;

tschirn=ContourPlot[54p y^2==(((9p-2x))^2)x, {x,0,7},{y,-4,4},ContourStyle->{Green}]

alleP= ParametricPlot[{{xs,ys}//Evaluate,{xs2,ys2}//Evaluate, {u,(d/(c-(p/2)))(u-(p/2))}, {((u^2)/(2 p)),u}},{u,-4,7 }, AspectRatio->Automatic];
Show[alleP,tschirn,PlotRange->{{-2,5},{-2.5,4}}]

Manipulate, Vorbereitung und Ausführung

c=.;d=.;p

xs/.p->1
xs2/.p->1
ys/.p->1
ys2/.p->1

Manipulate[Show[ ParametricPlot[{{((72 c u-(3-2 u) (-6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2))),((3 d (((3-2 u))^2)+2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},
{((72 c u-(3-2 u) (6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2))),((3 d (((3-2 u))^2)-2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}, {u,(d/(c-(1/2)))(u-(1/2))}, {((u^2)/(2 )),u}},{u,-4,12}, AspectRatio->Automatic, PlotStyle->Thick],
ContourPlot[54 y^2==(((9-2x))^2)x, {x,0,9},{y,-4,4},ContourStyle->Green],Graphics[{PointSize[0.02],Blue,Point[{c,d}]}],
Graphics[{PointSize[0.02],Point[{1/2,0}]}],
PlotRange->{{-2,9},{-2.5,4}}],

Style["Tschirnhaus-Kubik+Pedalkurven",30],
Style["Grün ist die T.-Kubik, die  bzg. F Contra-Pedale der roten Parabel ist.  \nDer Pol ist der blaue Punkt A=(c,d). Oliv ist die Gerade AF.",14],
{{c,-1},-2,6},{{d,2},0,3},
FrameLabel->{{None,None},{"www.kurven-erkunden-und-verstehen.de",None}},
LabelStyle->Directive[RGBColor[0.7,0,0],Medium],
SaveDefinitions->True
]

Rolle der Geraden durch A und F, dabei sei o.B.d.A. p=1
In allen Ansichten liegen die zwei Schnittpunkte dieser Geraden auch auf der Pedalen.
Geprüft im gezeichneten Fall c=-1 und d=2.

af=(y==(d/(c-(p/2)))(x-(p/2))/.p->1)

Solve[{y==((d (-(1/2)+x))/(-(1/2)+c)),y^2==2x},{x,y}]//FullSimplify

Von diesen beiden Punkten ist nachzuweisen, dass sie auf der Pedalen liegen, und zwar auf dem blauen Ast der eine und auf dem gelben Ast der andere.
blauer Ast

{((72 c u-(3-2 u) (-6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2))),((3 d (((3-2 u))^2)+2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}

ging nur im konkreten Test

c=-1;d=2;Solve[{((1+4 (c^2)+2 (d^2)+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])-2 c (2+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])))/(4 (d^2)))==((72 c u-(3-2 u) (-6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}]

zweiter Punkt auf blauem Ast ?

Solve[{((1+2 (d^2)-(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])+2 c (-2+2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])))/(4 (d^2)))==((72 c u-(3-2 u) (-6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}];(* u=3/8 kam heraus für x vom blauen Ast*)

{((1+2 (d^2)-(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])+2 c (-2+2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])))/(4 (d^2))),((72 c u-(3-2 u) (-6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}/.u->3/8

Solve[{-((1-2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)]))/(2 d))==((3 d (((3-2 u))^2)+2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}]; (* 1. y auf blauen Ast nix reelles *)

Solve[{((-1+2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)]))/(2 d))==((3 d (((3-2 u))^2)+2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}]; (* u=3/8 kam heraus für 2.  y vom blauen Ast*)

{((-1+2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)]))/(2 d)),((3 d (((3-2 u))^2)+2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}/.u->3/8

Also liegt der zweite Punkt ((1/8),(1/2))   auf dem blauen Ast, passt.

gelber Ast

{((72 c u-(3-2 u) (6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2))),((3 d (((3-2 u))^2)-2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}

Solve[{((1+4 (c^2)+2 (d^2)+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])-2 c (2+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])))/(4 (d^2)))==((72 c u-(3-2 u) (6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}] ;(* u->6 dür 1. x auf gelbem  Ast *)

{((1+4 (c^2)+2 (d^2)+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])-2 c (2+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)])))/(4 (d^2))),((72 c u-(3-2 u) (6 (Sqrt[6]) d (Sqrt[u])+9 u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}/.u->6

Solve[{-((1-2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)]))/(2 d))==((3 d (((3-2 u))^2)-2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))},{u}] ;(* u->6 dür 1. y auf gelbem  Ast *)

{-((1-2 c+(Sqrt[(((1-2 c))^2)+4 (d^2)]))/(2 d)),((3 d (((3-2 u))^2)-2 (Sqrt[6]) (Sqrt[u]) (9 c+9 u-6 c u+2 (u^2)))/(3 (((3+2 u))^2)))}/.u->6

Also liegt der zweite Punkt (2,-2)   auf dem gelben Ast, passt.

Überlegungen zu Loten x=c

Solve[27 (p^2)+4 (u^2)-24 p u==0,{u}] (*waagerechte Tangente=senkrechtes Lot*)

{{u->((3 p)/2)},{u->((9 p)/2)}} (*die Extremstelle und die Knotenstelle*)

2

54 p (y^2)==(((9p-2x))^2)x/.x->((3 p)/2)//Simplify

Auf der Parabel gehört dazu die Ordinate des Brennpunktes.

Sonderfall x=c ist Lot und y=+/- p ist Tangente erzeugt einen Punkt der 
Pedalkurve der Kubik