Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Kardioide, die drei Tangenten

Kardioide mit Scheitel im Ursprung

x[t_]:=(a/3)(2 Cos[t]-Cos[2t])+a
y[t_]:=(a/3)(2 Sin[t]-Sin[2t])

M={a,0} (* Mittelpunkt des Wanderkreises, r ist sein Radius *)

Der “Baum “ steht bei A=(a+r,0) mit k=2r.
Der Parameter t ist der Polarwinkel bezogen auf den Baum A.

a=3;ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi}]
a=.

Elimination

Eliminate[{x==(a/3)(2c-(c^2)+(s^2))+a,y== (a/3)(2 s -2 s c ), (s^2)+(c^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

Solve[(((4 a-3 x))^3) x==0,{x}] (* Nullstellen *)

a=3;ContourPlot[(((4 a-3 x))^3) x==9 (y^2) (4 (a^2)-12 a x+6 (x^2)+3 (y^2)),{x,0,5},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic]
a=.

Rechnungen zu Tangenten

D[x[t],t]
D[y[t],t]

(1/3) a (-2 Sin[t]+2 Sin[2 t])

Steigung bei Parameterwert t.

m[t_]:=(( Cos[t]- Cos[2 t])/(- Sin[t]+Sin[2 t]))

Plot[{m[t],x[t],y[t]},{t,0,2Pi},PlotRange->{-6,6}] (* y oliv *)

Pole berechnen

TrigExpand[- Sin[t]+Sin[2 t]]//Factor

Solve[Cos[t]==(1/2),t]

TrigReduce[(-1+2 Cos[t]) Sin[t]]

Kardioide mit Spitze im Ursprung

r[t_]:=k +2 a Cos[t]
x==r[t]Cos[t ]
 y==r[t]Sin[t]

Eliminate[{x==(k+2 a c) c, y==(k +2 a c) s,c^2+s^2==1},{c,s}]//FullSimplify

4 (a^2) (x^2)==((k^2)+4 a x-(x^2)-(y^2)) ((x^2)+(y^2))     (* (k^2)((x^2)+(y^2)) nach rechts *)

4(a^2)(x^2)+(-4a x +x^2+y^2)((x^2)+(y^2))//FullSimplify

Pascalsche Schnecke  (((-2 a x+(x^2)+(y^2)))^2)=(k^2)((x^2)+(y^2))

Kardioide mit Spitze im Ursprung, animiertes Bild

Spiegeln an der y-Achse

Pascalsche Schnecke(links)  (((2 a x+(x^2)+(y^2)))^2)=(k^2)((x^2)+(y^2))

Kardioide (((2 a x+(x^2)+(y^2)))^2)=4 (a^2)((x^2)+(y^2))

a=1;ContourPlot[(((2a x + (x^2)+(y^2)))^2)==4(a^2)((x^2)+(y^2)),{x,-4,1},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic, Axes->True]
a=.