Kurven sehen und verstehen

Haftendorn März. 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Kardioide und ihre Evolute

Quit

Kardioide mit Scheitel im Ursprung

r[t_]:=2 a  Cos[t]-2 a

M={a,0} (* Mittelpunkt des Wanderkreises, a ist sein Radius *)

Der “Baum “ steht  im Ursprung
Der Parameter t ist der übliche Polarwinkel.

a=1;kardibild=ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t]Sin[t]},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Thickness[0.02], Green}]
a=.

Elimination

Eliminate[{x==2a (c-1)c,y== 2a (c-1) s, (s^2)+(c^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

Vergleich

((((x^2)+(y^2)-2a x))^2)-4 (a^(2 ))((x^2)+(y^2)) ==0    //Expand  (* Formel aus Aufgabe 9.6*)

((x^2)+(y^2)) (-4 a x+(x^2)+(y^2))-4 (a^2) (y^2)  //Expand  (* Formel von oben passt*)

Tangenten

rst=D[r[t],t]

m[t_]:=(((rst Sin[t]+r[t] Cos[t])/(rst Cos[t]-r[t]Sin[t]))//FullSimplify); m[t]

Normalen

n[x_]:=-Cot[((3t)/2)](x-r[t]Cos[t])+r[t]Sin[t]; n[x]//FullSimplify

alle=Table[n[x],{t,0,2Pi,(Pi/50)}];

a=1;all=Plot[alle,{x,-1,5},PlotRange->{-3,3}, AspectRatio->Automatic];
a=.

Show[all,kardibild, klein]

a=1;klein=ContourPlot[(((4 a-3 x))^3) x==9 (y^2) (4 (a^2)-12 a x+6 (x^2)+3 (y^2)),{x,0,2},{y,-1,1}, AspectRatio->Automatic,ContourStyle->{Thickness[0.01],Red}]
a=.

Hüllkurve berechnen noch nicht gelungen
Hinsehen und Eintragen: es ergibt sich eine auf 1/3 zentrisch gestauchte 
Kardioide in der gezeigten Lage.

abt=D[Cos[(t/2)] (-2 a+x+2 (a-x) Cos[t]) Csc[((3 t)/2)],t]//FullSimplify

TrigExpand[(((Csc[((3 t)/2)]))^2)]

(1/(9 (((1-w))^2) w-6 (1-w) (w^2)+(w^3)))(*(((Cos[(t/2)])^2))->1-w*)

(1/(9 (((1-w))^2) w-6 (1-w) (w^2)+(w^3)))//Simplify

TrigExpand[Cos[(t/2)]]

Substituieren z=(t/2)   und w=((Sin[z])^2)

(-3 a+3 x+2 a Cos[t]+a Cos[2 t])

2 a Cos[2z]+a Cos[4z] //TrigExpand

2 a (1-w)+a (((1-w))^2)-2 a w-6 a (1-w) w+a (w^2) //Simplify

Solve[a (3-12 w+8 (w^2))==0,w]
Solve[((a (3-12 w+8 (w^2)))/((((3-4 w))^2) w))==0,w]   (* w=((Sin[z])^2) und z=(t/2)*)

in n[x]  dieses Einsetzen

Cos[(t/2)] (-2 a+x+2 (a-x) Cos[t]) Csc[((3 t)/2)]

(Sqrt[1-w])(-2a +x+2(a-x)(1-2 w))(Sqrt[(1/((((3-4 w))^2) w))])//FullSimplify

(((-(Sqrt[1-w]) (Sqrt[(1/((((3-4 w))^2) w))]) (4 a w+x-4 w x)))^2)//FullSimplify

(-(((-1+w) (((4 a w+x-4 w x))^2))/((((3-4 w))^2) w))/.w->(1/4) (3-(Sqrt[3])) )//FullSimplify

TrigExpand[Cos[2z]]

Herleitung mit der impliziten kartesischen Gleichung
läuft schlechter

((((x^2)+(y^2)-2a x))^2)-4 (a^(2 ))((x^2)+(y^2)) ==0

D[((((x^2)+((f[x])^2)-2a x))^2)-4 (a^(2 ))((x^2)+((f[x])^2)) ,x]

Solve[-4 (a^2) (2 x+2 y  yst)+2 (-2 a x+(x^2)+(y^2)) (-2 a+2 x+2 y yst)==0,yst]

{{yst->-((-3 a (x^2)+(x^3)-a (y^2)+x (y^2))/(y (-2 (a^2)-2 a x+(x^2)+(y^2))))//FullSimplify}}

Tangente in Q = (u, v)

y==((-u ((u^2)+(v^2))+a (3 (u^2)+(v^2)))/(v(-2 (a^2)-2 a u+(u^2)+(v^2))))(x-u)+v

Normale  in Q

y==((v(-2 (a^2)-2 a u+(u^2)+(v^2)))/(u ((u^2)+(v^2))-a (3 (u^2)+(v^2))))(x-u)+v //FullSimplify

u=.
a=1;

Eliminate[{y==v+((v (-2 (a^2)-2 a u+(u^2)+(v^2)) (-u+x))/((u^2) (-3 a+u)+(-a+u) (v^2))), ((((u^2)+(v^2)-2a u))^2)-4 (a^(2 ))((u^2)+(v^2)) ==0 },v]//FullSimplify

alle2=Table[(-4+u) (((2 u (((-1+x))^2)+(-2+x) x))^2)+2 (4 (u^3) (((-1+x))^2)+2 (x^2)+u (-18+(14-3 x) x)-2 (u^2) (5+6 (-2+x) x)) (y^2)+(((3-2 u))^2) u (y^4)==0,{u,-1,4,0.1}];

alle2bild=ContourPlot[alle2//Evaluate,{x,-1,4},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic];

Show[klein,kardibild, alle2bild, PlotRange->{{-1,4},{-3,3}}, AspectRatio->Automatic]

Hüllkurve 2 wird noch viel schlimmer

D[(-4+u) (((2 u (((-1+x))^2)+(-2+x) x))^2)+2 (4 (u^3) (((-1+x))^2)+2 (x^2)+u (-18+(14-3 x) x)-2 (u^2) (5+6 (-2+x) x)) (y^2)+(((3-2 u))^2) u (y^4),u]//FullSimplify

lo=Solve[-(-2+x) x (16+15 (-2+x) x)-2 (18+x (-14+3 x)) (y^2)+9 (y^4)+12 (u^2) ((((((-1+x))^2)+(y^2)))^2)+8 u (-(((-1+x))^2) (4+3 (-2+x) x)+(-5-6 (-2+x) x) (y^2)-3 (y^4))==0,u]

lo[[2,1]]

(-4+u) (((2 u (((-1+x))^2)+(-2+x) x))^2)+2 (4 (u^3) (((-1+x))^2)+2 (x^2)+u (-18+(14-3 x) x)-2 (u^2) (5+6 (-2+x) x)) (y^2)+(((3-2 u))^2) u (y^4)==0/.lo[[2,1]]; (* wird ziemlich wild*)

gerade=(-4+u) (((2 u (((-1+x))^2)+(-2+x) x))^2)+2 (4 (u^3) (((-1+x))^2)+2 (x^2)+u (-18+(14-3 x) x)-2 (u^2) (5+6 (-2+x) x)) (y^2)+(((3-2 u))^2) u (y^4)//Expand

geradeu=Collect[gerade,u]

geradeu/.lo[[2,1]] //FullSimplify

u kleinkriegen

(32-112 x+152 (x^2)-96 (x^3)+24 (x^4)+40 (y^2)-96 x (y^2)+48 (x^2) (y^2)+24 (y^4)+√((((-32+112 x-152 (x^2)+96 (x^3)-24 (x^4)-40 (y^2)+96 x (y^2)-48 (x^2) (y^2)-24 (y^4)))^2)-4 (32 x-76 (x^2)+60 (x^3)-15 (x^4)-36 (y^2)+28 x (y^2)-6 (x^2) (y^2)+9 (y^4)) (12-48 x+72 (x^2)-48 (x^3)+12 (x^4)+24 (y^2)-48 x (y^2)+24 (x^2) (y^2)+12 (y^4))))/(2 (12-48 x+72 (x^2)-48 (x^3)+12 (x^4)+24 (y^2)-48 x (y^2)+24 (x^2) (y^2)+12 (y^4)))

Radikand

((((-32+112 x-152 (x^2)+96 (x^3)-24 (x^4)-40 (y^2)+96 x (y^2)-48 (x^2) (y^2)-24 (y^4)))^2)-4 (32 x-76 (x^2)+60 (x^3)-15 (x^4)-36 (y^2)+28 x (y^2)-6 (x^2) (y^2)+9 (y^4)) (12-48 x+72 (x^2)-48 (x^3)+12 (x^4)+24 (y^2)-48 x (y^2)+24 (x^2) (y^2)+12 (y^4)))//FullSimplify

48 ((((((-1+x))^2)+(y^2)))^2) ((-2+x) x (16+15 (-2+x) x)+2 (18+x (-14+3 x)) (y^2)-9 (y^4))+64 ((((((-1+x))^2) (4+3 (-2+x) x)+(5+6 (-2+x) x) (y^2)+3 (y^4)))^2)

Kriegt man nicht klein

((((-32+112 x-152 (x^2)+96 (x^3)-24 (x^4)-40 (y^2)+96 x (y^2)-48 (x^2) (y^2)-24 (y^4)))^2)-4 (32 x-76 (x^2)+60 (x^3)-15 (x^4)-36 (y^2)+28 x (y^2)-6 (x^2) (y^2)+9 (y^4)) (12-48 x+72 (x^2)-48 (x^3)+12 (x^4)+24 (y^2)-48 x (y^2)+24 (x^2) (y^2)+12 (y^4)))//Factor