Kurven sehen und verstehen

Haftendorn April 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Nephroide und ihre Evolute

Quit

Nephroide, doppelt achsensymmetrisch

x[t_]:=(a/2)(3 Cos[t]+Cos[3t])
y[t_]:=(a/2)(3 Sin[t]+Sin[3t])

a=2;nephroibild=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Thickness[0.02], Green}]
a=.

Elimination

TrigExpand[Cos[3t]]
TrigExpand[Sin[3t]]

Eliminate[{x==(a/2)(3c+(c^3)-3 c (s^2)),y== (a/2)(3s - (s^3)+3 (c^2) s ), (s^2)+(c^2)==1},{s,c}]//FullSimplify

implizite kartesische Gleichung der Nephroide, Spitzenabstand a

Schnitte mit den Achsen

4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.y->0

Solve[4 (a^6)+15 (a^4) (x^2)+12 (a^2) (x^4)==4 (x^6),{x}]

4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.x->0

Solve[4 (a^6)-12 (a^4) (y^2)+12 (a^2) (y^4)==4 (y^6),{y}]

Zeichnung

a=2;ContourPlot[4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3),{x,-4,4},{y,-3,3}, AspectRatio->Automatic]
a=.

Rechnungen zu Tangenten

D[x[t],t]
D[y[t],t]

Steigung bei Parameterwert t.

m[t_]:=-(( Cos[t]+ Cos[3t])/(Sin[t]+Sin[3 t]))

a=2;Plot[{m[t],x[t],y[t]},{t,0,2Pi},PlotRange->{-6,6}] 
a=.(* y oliv *)

Normalen

n[x_]:=((( Sin[t]+ Sin[3t])/(Cos[t]+Cos[3 t]))(x-x[t])+y[t]//FullSimplify); n[x]

alle=Table[(-a+2 x Cos[t]) Sec[2 t] Sin[t],{t,0,2Pi,(Pi/50)}];

a=2;all=Plot[alle,{x,-4.2,4.2},PlotRange->{-3,3}, AspectRatio->Automatic];
a=.

xk[t_]:=(a/2)(3 Cos[t]-Cos[3t])
yk[t_]:=(a/2)(3 Sin[t]-Sin[3t])

a=1;nephrobildk=ParametricPlot[{xk[t],yk[t]},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Thickness[0.01], Red}]
a=.

Show[all,nephroibild,nephrobildk]

Hinsehen und Eintragen: es ergibt sich eine auf 1/2 zentrisch gestauchte 
und um 90° gedrehte Nephroide in der gezeigten Lage.

Brechnung der Hüllkurve

n[x_]:=((( Sin[t]+ Sin[3t])/(Cos[t]+Cos[3 t]))(x-x[t])+y[t]//FullSimplify); n[x]

norm=y==(( Sin[t]+ Sin[3t])/(Cos[t]+Cos[3 t]))(x-x[t])+y[t]//FullSimplify

abt=D[(( Sin[t]+ Sin[3t])/(Cos[t]+Cos[3 t]))(x-x[t])+y[t],t]//FullSimplify

TrigExpand[(Cos[3t])]

(c^3)-3 c (1-(c^2))//Simplify

TrigExpand[(Sec[2t])]
TrigExpand[(Tan[2t])]

Die abgeleitete Gleichung, die Normale n[x] und (c^2)+(s^2)==1

huell=Eliminate[{((4 x-3 a  c+a (4 (c^3)-3 c))/(((c^2)-(s^2))))==0,y+a (s/((c^2)-(s^2)))==x   ((2 c s)/((c^2)-(s^2))),(c^2)+(s^2)==1  },{c,s}]//FullSimplify

(a^6)+48 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)+3 (a^4) (-4 (x^2)+5 (y^2))==64 ((((x^2)+(y^2)))^3)    (*Hüllkurve *)

gruen=4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.a->(a/2)   (* Grüne Nephroide*)

((a^6)/16)+(3/16) (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+3 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)      (* mal 16  von Hand *)

(a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+48(a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==64((((x^2)+(y^2)))^3)//Expand   (* Tausch x--y im Kopf *)

passt, das ist tatsächlich die um Faktor 2 verkleinerte und gedrehte Nephroide

Evolute als Ort der Mitten

In Q auf der Nephroide wird die Normale konstruiert, die den blauen Kreis in A und B schneidet. B sei der entferntere Schrittpunkt. Die Mitte von BQ ist auch die  Nephroide, die Evolute ist.

n[x]

kreis=(x^2)+(y^2)==(a^2);

Solve[{y==n[x],(x^2)+(y^2)==(a^2)},{x,y}]//FullSimplify//PowerExpand

Q hängt von t ab und auch die beiden Schnittpunkte. Ich brauche nun die Mitten

xm1=(1/2)(x[t]-a Cos[t] Cos[2 t]+a Sin[t] Sin[2 t])//FullSimplify

ym1=(1/2)(y[t]-Cos[2 t] (a+2 a ((Cos[t])^2) Sec[2 t]) Sin[t])//FullSimplify//PowerExpand

a=2;ParametricPlot[{xm1,ym1},{t,0,2Pi}]
a=.

xm2=(1/2)(x[t]+a Cos[t] Cos[2 t]+a Sin[t] Sin[2 t])//FullSimplify//PowerExpand

ym2=(1/2)(y[t]-Cos[2 t] (a-2 a ((Cos[t])^2) Sec[2 t]) Sin[t])//FullSimplify//PowerExpand

a=2;mittenbild=ParametricPlot[{{xm1,ym1},{xm2,ym2}}//Evaluate,{t,0,2Pi}];
a=.

a=1;nephrobildk=ParametricPlot[{xk[t],yk[t]},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Thickness[0.005],Dashed, Red}];
a=.

Show[mittenbild, nephrobildk, nephroibild, PlotRange->{{-4,4},{-3.5,3.5}}]

Rechnerischer Beweis für die Mittenkurve

xm1//TrigExpand
ym1//TrigExpand

Eliminate[{x==(a/4)(3 c-(c^3)+3c (1-(c^2))),y==a (s^3),(c^2)+(s^2)==1},{c,s}]//FullSimplify

gruen=4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.a->(a/2)   (* Grüne Nephroide*)

((a^6)/16)+(3/16) (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+3 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)      (* mal 16  von Hand *)

(a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+48(a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==64((((x^2)+(y^2)))^3)//Expand   (* Tausch x--y im Kopf *)

passt, auch das ist tatsächlich die um Faktor 2 verkleinerte und gedrehte Nephroide

Die andere Mittenkurve

xm2
ym2//TrigExpand

Eliminate[{x==a  c+(1/2)a c  ((c^2)-(s^2)), y==(a/4)(5 s+3(c^2)s-(s^3)),(c^2)+(s^2)==1},{c,s}]//FullSimplify

4 (a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+12 (a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==4 ((((x^2)+(y^2)))^3)/.a->(a/2)

mitte2=(a^6)+3 (a^4) (5 (x^2)-4 (y^2))+48(a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)==64((((x^2)+(y^2)))^3)//Expand

Gleichung der Epitrochoiden

eq=({x==(a/2)(3 Cos[t]-k Cos[3t]),y==(a/2)(3 Sin[t]-k Sin[3t])}//TrigExpand)/.{Cos[t]->c,Sin[t]->s}   (* übliche Substitution*)

eq=AppendTo[eq,(c^2)+(s^2)==1]

Subtract@@Eliminate[eq,{c,s}]//Expand

Für einen Koeffizientenvergleich  wird auch die zweite Mittenkurve aufgelöst:

mitte2=Subtract@@mitte2

Solve[-81 z+18 (z^2)-(z^3)==1,z]//N     (*  (k^2)=z , Absolutes Glied*)

Das z=(k^2)  folgt auch hier, dass die 2. Mittenkurve keine Eplitrochoide ist.

Nochmal mit den Koeffizienten von (x^2):

Solve[216 k -36 (k^2) +12 (k^4) ==15,k]//N

Es hätte sich immer dasselbe k ergeben müssen.

Die andere Mittenkurve ist keine Epitrochoide

Ausnutzung dieser Eigenschaft in Aufgabe 9.11Punkt 3.