Kurven sehen und verstehen

Haftendorn April 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de
Buch 9783 658 14748 8 aus Seite 303 ff

Area-Funktionen Seite 303

Hyperbel

Tan[th0]==((Sinh[0.77])/1.3)//N

Solve[Tan[th0]==0.6525973790283411`,{th0}]

hy=ContourPlot[{x^2-y^2==1,y==x,y==-x,y==((Sinh[0.77])/1.3)x,y==-((Sinh[0.77])/1.3)x},{x,-1.2,2},{y,-1.5,1.5}, Axes->True, AspectRatio->Automatic];

pol=PolarPlot[(1/(Sqrt[Cos[2 th]])),{th,0,0.5782}, PlotStyle->{Dashed,Thick}];

Show[hy,pol]

Das passt, incl. der Bestätigung der Polarformel für die Hyperbel.

Pfeilfläche

2*(1/2)Integrate[(1/(Cos[2 th])),th]

A=Integrate[(1/(Cos[2 th])),{th,0,θ}]//FullSimplify

(∫_0^θ)Sec[2 th]\[DifferentialD]th     (* ich hab vergessen, wie ich den richtigen Term erzeugt habe *)

D[(1/2)Log[((Cos[x]+Sin[x])/(Cos[x]-Sin[x]))],x]//FullSimplify

Sec[2 x]    (* aber er stimmt *)

A=(1/2)Log[((Cos[x]+Sin[x])/(Cos[x]-Sin[x]))]/.x->θ

Berechnen von (e^A)+(e^(-A))

Damit die E-Funktion direkt auf den Log wirkt, wird aus (1/2) die (Sqrt[□]), - wird Kehrwert

(Sqrt[((Cos[θ]+Sin[θ])/(Cos[θ]-Sin[θ]))])+(Sqrt[((Cos[θ]-Sin[θ])/(Cos[θ]+Sin[θ]))])

Nach Sicht umgeformt

((Cos[θ]+Sin[θ]+ Cos[θ]-Sin[θ])/(Sqrt[((Cos[θ])^2)-((Sin[θ])^2)]))//FullSimplify

Wegen r[θ]=(1/(Cos[2θ]))  ist dies zusammen

Cosh[A]=(((E^A)+(E^(-A))  )/2)=   r[θ]Cos[θ]   =   x   .  Also A=ArCosh[x] , ein “Areal”

Berechnen von (e^A)-(e^(-A))

Damit die E-Funktion direkt auf den Log wirkt, wird aus (1/2) die (Sqrt[□]), - wird Kehrwert

(Sqrt[((Cos[θ]+Sin[θ])/(Cos[θ]-Sin[θ]))])-(Sqrt[((Cos[θ]-Sin[θ])/(Cos[θ]+Sin[θ]))])

Nach Sicht umgeformt

((Cos[θ]+Sin[θ]- Cos[θ]+Sin[θ])/(Sqrt[((Cos[θ])^2)-((Sin[θ])^2)]))//FullSimplify

Wegen r[θ]=(1/(Cos[2θ]))  ist dies zusammen

Sinh[A]=(((E^A)-(E^(-A))  )/2)=   r[θ]Sin[θ]   =   y  .   Also A=ArSinh[y] , ein “Areal”

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Kommentar -------- comment

Leider heißen diese Funktionen in Mathematica zwar verbal Area-Funktionen, sie werden aber als ArcCosh  und ArcSinh  geschrieben. 
It’s a pitty! In mathematica the verbal names are correct area-functions, but you must write  ArcCosh  und ArcSinh. There is no connection to “arcus”.