Kurven sehen und verstehen

Haftendorn Juli 2017, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de

Inversiongleichungen, Ursprungs-Kreis, Radius k,

invert={x->(((k^2)x)/((x^2)+(y^2))),y->(((k^2)y)/((x^2)+(y^2)))}

Quit

Inversion der Königin

Königin der Spiralen, polar

r[θ_]:=c  (E^(a θ)) ; r[θ]

k=1

Kegelschnitte in Brennpunktlage, Polare Form

rinv[θ_]:=((k^2)/(r[θ])); r[θ]
rinv[θ]

k

Dieses ist wieder eine Polargleichung einer Exponentialspirale

c=0.5;a=0.16;k=1;   PolarPlot[{k,c  (E^(a θ)),rinv[θ]},{θ,-15,3.9}]
p=.;k=.;ϵ=.;  (*rot ist der Wanderkreis für die Pascalschen Schnecken*)

(E^\[Placeholder])

p=1;k=1;ϵ=1.0000001;   PolarPlot[{k,r[θ],rinv[θ]},{θ,0,2Pi},
PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}, PlotStyle->Thick];
p=.;k=.;ϵ=.;

Manipulate[PolarPlot[{k,(p/(1-ϵ Cos[θ])),(((k^2)(1-ϵ Cos[θ]))/p)   },{θ,0,2Pi}, PlotStyle->Thick,PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],
{{ϵ,0.7},0,1.5, Appearance->{"Open"}},
{{p,1},0.8,1.2,Appearance->"PopupMenu"},
{{k,1},0,2}]

Kartesische Gleichungen direkt, Brennpunktlage

Umständlich

{p=.,ϵ=.};Eliminate[{x==(p/(1-ϵ Cos[θ]))Cos[θ],y==(p/(1-ϵ Cos[θ]))Sin[θ], x^2+y^2==((p/(1-ϵ Cos[θ])))^2},θ]

direkter

{p=.,ϵ=.};Solve[r==((p/(1-ϵ (x/r)))),r]

{p=1,ϵ=0.7} ; ContourPlot[(x^2)+(y^2)==(((p+ϵ x))^2),{x,-3,4},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic];

Invertieren

{p=.,ϵ=., k=.};(x^2)+(y^2)==(((p+ϵ x))^2)/.invert //FullSimplify

{p=1,ϵ=0.7, k=1} ; ContourPlot[{(k^4)(x^2+y^2)==(((p(x^2+y^2)+(k^2)ϵ x))^2)},{x,-3,4},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic];
{p=.,ϵ=.,k=.};

Mit (fast) Anpassung an die im Buch gegebene Gleichung mit c=((k^2)/(2 p)), hier k=1 gesetzt.

Manipulate[ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==1,(x^2)+(y^2)==(((p+ϵ x))^2),(((x^2+y^2))/(p^2))==(((x^2+y^2+(1/p)ϵ x))^2)},{x,-3,4},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic, Axes->True],
{{ϵ,0.7},0,1.5, ContinuousAction->Automatic, Appearance->{"Open"}},
{{p,1},0,1.5, Appearance->{"Open"}},SaveDefinitions->True]

Kegelschnitte in Mittelpunktslage

elli=((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))==1
hyp=((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))==1

elli/.invert
hyp/.invert

(((k^4) (x^2))/((a^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)))+(((k^4) (y^2))/((b^2) ((((x^2)+(y^2)))^2)))==1

Booth’sche Ovale und Booth’sche Lemniskaten

Sie haben nach Seite 216 die Gleichungen (c^2)(x^2)+/- (s^2)(y^2)==((((x^2)+(y^2)))^2)

k=2;Manipulate[ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(k^2),((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))==1,(k^4)(b^2)(x^2)+(k^4)(a^2)(y^2)==(a^2) (b^2)(((x^2+y^2))^2)},{x,-4,4},{y,-3,3},AspectRatio->Automatic, Axes->True],
{{a,1},0,3, ContinuousAction->Automatic, Appearance->{"Open"}},
{{b,2},0,2, Appearance->{"Open"}},SaveDefinitions->True]

k=2;x=.;Manipulate[ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==(k^2),((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))==1,((k^4)/(a^2))(x^2)-((k^4)/(b^2))(y^2)==(((x^2+y^2))^2)},{x,-4,4},{y,-2,2}, AspectRatio->Automatic, Axes->True],
{{a,(Sqrt[2])},0,3, ContinuousAction->Automatic, Appearance->{"Open"}},
{{b,1},0,2, Appearance->{"Open"}},SaveDefinitions->True]