08 Kurven mit Drehwurm
Website zum Buch: Hier sind die Dateien, die die Bilder des Buches erzeugt haben, die Aufgabenlösungen, Beweis-Ergänzungen und weitere Kurven, für die im Buch kein Platz mehr war. Wenn Sie hier etwas nicht verstehen, lesen Sie im Buch. Falls Sie Fehler finden ober noch Fragen übrig sind, wenden Sie sich an mich.
8.1 Spiralen 8.2 Rosetten8.3 Rollkurven 8.4 Schwingungen

8.1 Spiralen
Kap: Seite
8.1: S. 219
Abb. 8.1 Spiralen des Barock, Abschnitt 8.1.1: a) Haus in Stralsund b) Anpassung mit einer archimedischen Spirale c) Epithaph für Jakob I. Bernoulli in Basel (Quelle: eigene Fotos)
Kap: Seite
8.1: S. 220
Abb. 8.2 Seile werden um Rotationskörper gewickelt.
a) und b) Kegel mit Seil ergibt die archimedische Spirale,
c) Hyperboloid mit Seil ergibt die hyperbolische Spirale, siehe Abb. 8.11 in Abschnitt 8.1.3.2,
d) und e) Logarithmus-Rotationskörper (gespiegelt) ergibt die logarithmische Spirale, siehe Abschnitt 8.1.2
Kap: Seite
8.1.1: S. 221
Abb. 8.3 Archimedische Spiralen in polar-kartesischer Darstellung:
a) Hauptform polar
b) kartesisch als Ursprungsgerade
c) archimedische Spirale mit einem Zentralkreis
d) kartesisch als nach oben verschobene Gerade.
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b) im GeoGebra-Book     Archimedische Spirale mit Zentralkreis download
Kap: Seite
8.1.1: S. 222
Abb. 8.4 Tangenten an archimedische Spiralen in polar-kartesischer Darstellung:
a) polar mit zwei Tangenten
b) kartesisch mit der Geraden r(x) = x + 1 für -1<=theta
c) geometrische Tangentenkonstruktion
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8.1.1.2: S. 223
Abb. 8.5 Eigenschaften der archimedischen Spirale:
a) Ab theta=2Pi haben benachbarte Spiralarme den konstanten Radialabstand 2aPi.
b) Der Spiralarm für 0<theta< 2Pi nimmt in der gezeigten Weise ein Drittel der Fläche des umfassenden Kreises ein.
c) Der Krümmungskreis fur den Ursprung hat den Radius rho = a/2. Gezeigt ist r(theta) = 2theta fur -1
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8.1.2 Königin der Spiralen = Exponential-Spirale = logarithmische Spirale =
gleichwinklige Spirale = Bernoulli'sche Spirale = spira miabilis = Spirale der Natur

Eine Erklärungung aller dieser synonymen Namen finden Sie im Buch.
Kap: Seite
8.1.2: S. 224
Abb. 8.6 Die Königin der Spiralen hat viele Namen:
  • Logarithmische Spirale
  • Exponential-Spirale
  • Gleichwinklige Spirale
  • Bernoulli’sche Spirale
  • spira mirabilis
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:8.1.2 S. 225
Abb. 8.7 Gleichwinklige Spirale für Nachtfalter und Ammoniten (Quelle für einzelnen Wollraupenspinner: Wikipedia, für Ammonit: eigenes Foto)

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8.1.2.1: S. 225
Abb. 8.8 Tangenten der gleichwinkligen Spirale
a) Tangentenmuster
b) Tangentendreieck und der Grenzwert der Spiralenlänge von P bis O = Strecke PS
c) Ausschnitt in Ursprungsnähe
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8.1.2.4: S. 228
Abb. 8.9 Königin-Spirale:
a) Drehen und Strecken sind austauschbar
b) Tangentenkonstruktion mit Krümmungskreis um N und Ortskurve von N (Evolute) als gedrehte Ausgangsspirale
c) Die Fußpunktkurve einer Königin-Spirale ist wieder eine Königin-Spirale.
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8.1.3.2 Systematisierung der Spiralen nach Funktionstyp
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8.1.3.2: S. 231
Abb. 8.10
a) Parabel-Spirale (Galilei’sche Spirale)
b) und c): Die nach oben verschobene „Sattelfunktion“ r(x) = 0.001x^3 + 2 erzeugt für negative Winkel eine interessante Extraschleife

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8.1.3.2: S. 232
Abb. 8.11 Potenzspiralen
a) Wurzel-Spirale von Fermat
b) Hyperbel-Spirale oder hyperbolische Spirale mit ihrer Asymptote
c) Kehrwert-Parabel-Spirale, die keine Asymptote hat, Beweis im Absatz: Hyperbelspirale.
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8.1.3.2: S.232
Abb. 8.12 noch mehr Spiralen
a) Wurzelspirale mit beiden Ästen
b) Lockwood-Spirale aus verschobener Wurzelfunktion mit beiden Ästen, vorgestellt von [Lockwood 1961]. Dort hat die Wurzel noch den Faktor 2.

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8.1.3.2.: S. 233
Abb. 8.13 Lituus, Krummstab, Bischofsstab, ionisches Kapitell mit der Polargleichung r(theta) = c/ Wurzel(theta).

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8.1.3.2: S. 233
Abb. 8.14 Kreis und Gerade als Spiral- Asymptoten.
Durch Verschieben der gespiegelten Hyperbel ergeben sich einige Überraschungen.

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8.1.3.2: S. 234
Abb. 8.15 Logarithmus-Spirale:
a) Polarkurve zu r(theta) = ln(theta),
b) kartesische Funktion dazu,
c) ohne Achsen mit vielen Windungen, die sich prinzipiell nicht in einem Kreis „einfangen“ lassen.

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Kap: Seite
8.1.3.3: S. 235
Abb. 8.16 Juliamengen, wie sie in Korrespondenz zu Punkten c in der komplexen Ebene des „Apfelmännchens“ auftreten, enthalten oft näherungsweise die Königin-Spiralen:
Links für c = 0.764 - 0.125 i, rechts für c = 0.819 - 0.194 i
http://www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale Geometrie ->Apfelmännchen, Juliamengen

8.2 Rosetten oder Rosenkurven
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8.2: S. 236
Abb. 8.17 Grundlage fur Rosetten:
a) Polarkurve zu r(theta) = 3 sin(2 theta), b) kartesische Funktion dazu, c) nimmt man den Kosinus statt des Sinus, dreht man lediglich um 45°.

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8.2.1.1: S. 237
Abb. 8.18 Rosetten mit Umkreisradius c und ganzzahligem Faktor a, wie er am Bild notiert ist.
Es sind Plus- und Minus-Blätter in der Zeichenreihenfolge beschriftet.
GeoGebra-Datei wie zu Abb.8.17
Kap: Seite
8.2.1.1.: S. 238
Abb. 8.19 Rosetten mit gebrochenem Parameter:

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8.2.1.2: S. 239
Abb. 8.20 Rosetten variiert:
a) und b) in Grün die Urform des Quadrifolium, der Vierblattrosette, polar und kartesisch gezeigt. Die roten Blätter gehören zur quadrierten Sinusfunktion. Sie haben gleiche Öffnungswinkel und längste Erstreckung, sind aber schmaler. Am kartesischen Graphen sieht man, dass sie vom 1. Quadranten aus in mathematisch positivem Sinn gezeichnet werden.
c) und d) zeigen ein Trifolium, das zu einer verschobenen Sinusfunktion gehört ( siehe Gleichung 8.9).
Bild e) zeigt blau-grün-gestrichelt die Blätter der Urform für a = 4 und die zum Betrag der Sinusfunktion gehörigen Blätter genau aufeinander. Innen aber sind in Rot schmaler die Blätter der Quadratform der Gleichung.
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8.2.1.2: S. 240
Abb. 8.21 Rosetten mit Plus-Blättern nach der Gleichung 8.9 r(theta) = c sin^2 ( a/2 theta ) mit c = 3.
Die Rosette für a = 3 ist in Abb. 8.20 c) zu sehen.
GeoGebra-Datei wie zu Abb.8.20
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8.2.2: S. 240
Abb. 8.22 Rosette als Fußpunktkurve der Astroide Im Abschnitt 4.4.5.2 und Abb. 4.37 b) ist die Astroide als Hüllkurve einer Stange fester Länge zu sehen, deren Enden auf den Achsen wandern. Im genannten Bild wird eine Ellipse erzeugt, links aber wird vom Ursprung aus ein Lot auf die Stange gefällt. Der Fußpunkt dieses Lotes sei P, an der x-Achse gespiegelt liegt P’.Die Ortskurve von P ist das Quadrifolium, die übliche Vierblatt-Rosette aus Abb. 8.17, wie im Folgenden bewiesen wird. Hier ist die Astroide der Rand der grünen Fläche. Ihre Gleichung wird nicht benötigt, denn mit der Stange hat man ja schon die benötigten Tangenten.

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8.2.3.1: S. 241
Abb. 8.23 Die Propeller-Blüte verknüpft die archimedische Spirale mit der Rosette. Zwischen zwei kartesischen Geraden „pendelt“ ein Sinusgraph mit immer größer werdender Amplitude. Die Blätter „erben“ von der archimedischen Spirale, dass ihre Scheitel stets um das gleiche Stück nach außen rücken.

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8.2.3.2: S. 242
Abb. 8.24 Logarithmus-Blume mit Extrazipfel
r(theta) = c ln(theta) sin(a theta) mit a = 5 und c = 3

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8.2.3.3: S. 242
Abb. 8.25 Hyperbel-Blume
r(theta) = 1 /(theta-4) sin(pi theta) Wenn theta eine natürliche Zahl ist, wird der Sinusterm Null, außer für theta = 4, denn dann ist auch der Nenner Null. Als Grenzwert ergibt sich fur x gegen 4 der Wert pi. Also hat das Blatt 4+, das sich im III. Quadranten erstreckt, in der Richtung theta = 4 = 229, 2° den Polarradius pi. Das sieht man nicht, da das Bild links nur bis x = -1 reicht.

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8.3 Rollkurven
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8.3.1: S. 243
Abb. 8.26 Zykloide, k ist der Streckfaktor, der Pk auf dem Radiusstrahl des Rollkreises festlegt:
a)in Rot: gespitzte Zykloide mit k = 1 , in Blau: verlängerte Zykloide für außerhalb des Rollkreises gelegene Punkte Pk für k > 1, in Violett: verkürzte Zykloide für innerhalb des Rollkreises gelegene Punkte Pk mit k < 1, hier als Pa und Pi bezeichnet.
b) Beweiszeichnung für die Parameterdarstellung mit dem Parameter t.

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8.3.1.2: S. 245
Abb. 8.27 Zykloide und ihre Evolute
Zu der roten Zykloide ist in Blau die Tangentenschar und in Grün die Normalenschar gezeichnet. Die Hüllkurve der Normalen (Abschnitt 9.3) ist die Evolute der Zykloide. Sie ist erstaunlicherweise wieder eine Zykloide, hier ockerfarben eingezeichnet.

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Kap: Seite
8.3.2: S. 247
Abb. 8.28 Epitrochoide
In Rot sind gespitzte (k = 1), in Blau verlängerte (k > 1) und in Violett verkürzte (k < 1) Epitrochoiden dargestellt. Mit m = R . gilt für
a) m = 5, b) m = 7, c) m = 1, die Kardioide für k = 1,
d) m = 2, die Nephroide für k = 1. Zu c) und d) siehe Abschnitt 9.4.

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8.3.2: S. 248
Abb. 8.29 Hypotrochoiden
In Rot sind gespitzte, in Blau verlängerte und in Violett verkürzte Hypotrochoiden dargestellt. Mit m = R . gilt für
a) m = 1, eine Strecke für k = 1, sonst Ellipsen,
b) m = 3 und Steiner’sche Kurve für k = 1 (Aufgabe 9.4),
c) m = 4 und Astroide für k = 1 (Abschnitt 9.2.4),
d) m = 9.

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8.3.2: S. 248
Abb. 8.30 Beweiszeichnungen für Epi- und Hypotrochoide, Rastkreisradius R, Rollkreisradius rho,
Quotient m = R/rho>1
a) Winkel(TQP) = phi,
b) WInkel(PQT) = phi
Beweiszeichnungen
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8.3.3: S. 249
Abb. 8.31 Eine Parabel soll auf der x-Achse abrollen.


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Darin ist auch die CAS-Brechnung des Integrals.
a) Vorarbeit: Punkt Q wandert auf einer festen Parabel mit Brennpunkt F und Parameter p. Die Leitgerade ist F'FL . Auf der Tangente in Q wird die durch Integration berechnete Bogenlänge vom Scheitel bis Q als Strecke QE abgetragen. Als Nebeneffekt ist in Rot eine Evolvente der Parabel markiert.

Bild b) Die Konstruktion aus a) wird zum "Lieferanten" für gewisse Abstände, die in Bild c) gebraucht werden. Dabei soll E der Koordinatenursprung werden, EQ wird x-Achse.
Bild c) In diesem 2. Grafikfenster soll die rollende Parabel entstehen. Strecke EQ definiert den Berührpunkt Q' und der Brennpunkt P = (Strecke EA, Strecke AF) wird eingetragen. Da das Dreieck FLFF' mit rechtem Winkel bei F' kongruent als Dreieck P' PH übertragen werden soll, konstruieren wir H mit dem Thaleskreis uber PP' und dem Parabelparameter Strecke HP = p = F'F. Parabelachse ist dann HP und HP' ist Leitgerade. Mit dem Befehl "Parabel aus Brennpunkt und Leitgerade" erhält man die grüne Parabel.
Wird nun im linken Grafikfenster, also in Bild b), Punkt Q auf der (festen) Parabel bewegt, so rollt im rechten Grafikfenster, Bild c), die kongruente grüne Parabel auf der x-Achse ab und hat dabei den Berührpunkt Q'. Die Ortslinie des Brennpunktes ist als Spur rot markiert, schwarz gestrichelt ist die Kettenlinie (Kosinus hyperbolicus Funktion) eingetragen. Sie passt dazu.
8.3.3.3 Zentrale Idee dieses Vorgehens bei Rollkurven Bewegt man sich bei den Rollkurven über Kreise und Geraden hinaus, kommt man um eine Integration zur Längenbestimmung nicht herum. Hier ist bemerkenswert, dass zunächst bequem die Tangente auf der Parabel abrollt und die entstehenden Längen dann im 2. Grafikfenster helfen, die umgekehrte Situation zu meistern, nämlich die Parabel auf einer festen Geraden abrollen zu lassen.


8.4 Schwingungen
Kap: Seite
8.4.1: S. 251
Abb. 8.32 Sinusfunktion aus dem Einheitskreis gewinnen.
Die Ordinate von Q wird sin(x) genannt:
also P = (x, sin(x)).

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Kap: Seite
8.4.1: S. 251
Ergänzung zu Abb. 8.32 Kosinusfunktion aus dem Einheitskreis gewinnen.
Die Abszisse von Q wird cos(x) genannt, sie wird durch eine 90°-Drehung übertragen:
also P = (x, cos(x)).

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Kap: Seite
8.4.1: S. 251
Ergänzung zu Abb. 8.32 Tangensfunktion aus dem Einheitskreis gewinnen.
Der Randiusstrahl duch Q schneidet die Tangente im O in (0, tan(x)):
also P = (x, tan(x)).

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8.4.2 Lissajous-Kurven
Kap: Seite
8.4.2.1: S. 252
Abb. 8.33 Lissajous-Kurven für x(t) = 3 sin(t-phi) und y(t) = sin(5t). Der graue Punkt gehört zu t = 0.8
a) für phi = 0, b) und c) für phi = 0.2,
c) 3D-Darstellung der "1 : 5-Krone". Für 0 <= t < 2 pi/3 ist die Kurve in Rot gezeichnet, für 2 pi/3 <= t < 4 pi/3 in Grün und für 4 pi/3 <= t < 2 pi in Blau.
Im Buch wird erkläsrt, wie und warum man in der 3D-Version eine ganze Familie von Lissajouskurven verstehen kann.
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Kap: Seite
8.4.2.2: S. 252
Abb. 8.34 Definierende Funktionen zu Abb. 8.33 kartesisch dargestellt. x braun, y violett
a) phi = 0 und b) phi = 0.2
GeoGebra-Datei zu Abb.8.33
im 2. Grafikfenster
Kap: Seite
8.4.2.4: S. 253
Abb. 8.35 Lissajous-Kurven für x(t) = 3 sin(2t) und y(t) = sin(5t), also für phi = 0. Der graue Punkt gehört zu t = 2.8.
a) 2D-Lissajous-Kurve,
b) 2 : 5-3D-Lissajous-Krone,
c) kartesische Darstellung der definierenden Funktionen
Alles ist in den beiden Grafikfenstern und dem 3D derselben Datei
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Sie finden Weiteres zu Kurven auf meiner Site www.mathematik-verstehen.de im Bereich Kurven, Lissajouskurven kommen dort aber nicht vor.

email.gif 12x9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn Erstellt August 2016, Update 1.05.2018 www.kurven-erkunden-und-verstehen.de