04 Barocke Blüten und Früchte
4.4.1 & 4.4.2 Lemniskate
Website zum Buch: Hier sind die Dateien, die die Bilder des Buches erzeugt haben, die Aufgabenlösungen, Beweis-Ergänzungen und weitere Kurven, für die im Buch kein Platz mehr war. Wenn Sie hier etwas nicht verstehen, lesen Sie im Buch. Falls Sie Fehler finden ober noch Fragen übrig sind, wenden Sie sich an mich.
4.1 Versiera 4.2 Kubiken 4.3 Cassini u.a.bipolare Kurven 4.4.1 und 4.4.2 Lemniskate BMG-
Lemniskate Zusatz
4.4.3-4.4.7 Gelenke
Kap: Seite
4.4.1: S. 108
Abb. 4.21 Bernoulli’sche Lemniskate aus einer Gelenk-Konstruktion, siehe Abschnitt 4.4.3.1

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Kap: Seite
4.4.1: S. 109
Abb. 4.22 Lemniskate: a) Tangenten im Ursprung und Flächeninhalt der Lemniskate, er ist gleich dem der beiden Quadrate mit Kantenlänge e, b) Extrema in den Sechseckspunkten

im GeoGebra-Book    Flächen=Quadrate, download

im GeoGebra-Book    Extrema auf Sechseck, download
Kap: Seite
4.4.1.3: S. 111

im GeoGebra-Book   zu Bild a), download

im GeoGebra-Book    mit GeoGebra CAS, download
Abb. 4.23 Lemniskate:
a) Krümmungskreise in den Extrema,
b) Krümmungskreise in den Scheiteln (hierzu Datei bei Abb. 4.24)
   

eingefügt: Berechnung mit GeoGebra CAS
Kap: Seite
4.4.1.4: S. 111

Abb. 4.24 Krümmung am Scheitel der Lemniskate:
a) experimentelle Erkundung
b) exakter Krümmungskreis und Bezüge zu anderen Eigenschaften

a) im GeoGebra-Book    a) experimentell, download
b) im GeoGebra-Book    b) geometrische Eigenschaften, download
Kap: Seite
4.4.1.4: S. 112
-113





Afg. 4.5

b) im GeoGebra-Book    b) download  b) bezeichnete Version
Abb. 4.25 Lemniskate: Wimmelbild zu den Eigenschaften und ihren Bezügen, siehe Aufgabe 4.5
Auch ohne die Aufgabe zu kennen, kann man viele Eigenschaften aus dem Wimmelbild herauslesen und dann versuchen, sie zu beweisen.
Aufgabe 4.5 Lemniskaten-Eigenschaften    Afg4.5 Top 6. und 7.+CAS   Afg4.5 Top 9.
Kap: Seite
4.4.1.5: S. 113
Abb. 4.26 Lemniskate:
a) Polardarstellung, mit
b) der gekoppelten kartesischen Sicht
Polargleichung der Lemniskate r(theta)^2=2 e^2 cos(2 theta)

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Kap: Seite
4.4.1.5: S. 114
Abb. 4.27 Lemniskate:
a) erste Parameterdarstellung aus Gl. 4.28, mit
b), der gekoppelten Sicht auf beide Parameterkurven
x(t)^2=e^2(t+t^2)    y(t)^2=e^2(t-t^2)

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Kap: Seite
4.4.1.5: S. 115
Aufgabe 4.6
Parameterdarstellungen der Lemniskate


Top 1. download
Hiezu gehört die Abbildung. Rechts sind im 2.Grafikfenster die Funktionen fx und fy zu sehen, die im linken Grafikfenster P=(fx(t), fy(t)) erzeugen.
Top 2. download
Top 3. download
Kap: Seite
4.4.2: S. 116





Zusatz

Aufgabe 4.7 Booth'sche Ovale und Booth'sche Lemniskaten
Ausführliche Lösung
mit einer zusätzlichen Betrachtung der Polargleichung.

Zu 1.-5. download
Zu 6.-7. download
Zusatz
polar download
mit Ellipse download
Erfindung einer geometischen Konstruktion für Booth'sche Ovale
Kap: Seite
4.4.2.1: S. 117



Aufgabe4.8
S.118

a) Gerono’sche Lemniskate als Mittenkurve zweier Parabeln, Richtung senkrecht zur Parabelachse,
b) Parabel als Mittenkurve zwischen Parabeln, Richtung parallel zur Parabelachse,
c) Kettenlinie k(x) = cosh(x) als Mittenkurve zu f(x) = e^x und g(x) = e^(-x)
d) Ellipse als Mittenkurve von Kreis und Durchmesser
Bauen Sie die Dateien zu b), c) und d) selbst. c) ist auch in Kap.9.6.4 bei der Kettenlinie, d)ist Spezialfall von Abb.4.9.c)
Abb. 4.28 Mittenkurve zweier Kurven:
echte Gerono'sch Lemniskate download

Man kann die Definition erweitern, indem man einen weiteren Parameter in die Parabelgleichung nimmt. Lesen Sie:
BMG-Lemniskate, allg- Gerono'sche Lemniskaten
Kap: Seite
4.4.2.1: S. 117



Auch die beiden ersten dieser Konstruktionen sich auf für allgemeine Gerono'sche Lemniskaten übertragbar. Lesen Sie:
BMG-Lemniskate, allg- Gerono'sche Lemniskaten
Abb. 4.29 Gerono’sche Lemniskate in drei Konstruktionen:
a) Gerono’sche Lemniskate als allgemeine Versiera nach Definition 4.1,
b) eine etwas andere Konstruktion,
c) Konstruktion mit zwei Loten und einer Längenübertragung

Aufgabe 4.8

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im GeoGebra-Book    Bild b) download
Gerono1-2-3-Gesamtdatei
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Sie finden Weiteres zu Kurven auf meiner Site www.mathematik-verstehen.de im Bereich Kurven

email.gif 12x9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn Erstellt August 2016, Update 17.03.2018 www.kurven-erkunden-und-verstehen.de